Question

選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=2，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角 坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程為

x=2- 1 2 t y=1+ 3 2 t

（t為參數(shù)）．
（I）寫出直線l與曲線C的直角坐標(biāo)系下的方程；
（II）設(shè)曲線C經(jīng)過伸縮變換

x′=x y′=2y

得到曲線C'設(shè)曲線C'上任一點(diǎn)為M（x，y），求

3

x+

1

2

y的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）利用ρ²=x²+y²，將ρ=1轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程，然后將直線的參數(shù)方程的上式化簡成t=2（x-1）代入下式消去參數(shù)t即可；
（II）根據(jù)伸縮變換公式求出變換后的曲線方程，然后利用參數(shù)方程表示出曲線上任意一點(diǎn)，代入

3

x+

1

2

y，根據(jù)三角函數(shù)的輔助角公式求出其范圍即可．

解答：解：（Ⅰ）直線l的普通方程

3

x+y-2

3

-1=0
曲線C的直角坐標(biāo)方程x²+y²=4；…（4分）
（Ⅱ）曲線C經(jīng)過伸縮變換

x′=x y′=2y

得到曲線C'的方程為x2+

y2

4

=4，
則點(diǎn)M參數(shù)方程為

x=2cosθ y=4sinθ

，代入

3

x+

1

2

y得，

3

x+

1

2

y=

3

•2cosθ+

1

2

×4sinθ=2sinθ+2

3

cosθ=4sin（θ+

π

3

）∈[-4，4]
∴

3

x+

1

2

y的取值范圍是[-4，4]…（10分）

點(diǎn)評：本題主要考查了圓的極坐標(biāo)方程與直線的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程，以及利用橢圓的參數(shù)方程求最值問題，屬于基礎(chǔ)題．