Question

若α、β為銳角，且cos（α+β）=

12

13

，cos（2α+β）=

3

5

，則cosα等于

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)α、β為銳角，得到α+β和2α+β的范圍，由cos（α+β）=

12

13

，cos（2α+β）=

3

5

，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sin（α+β）和sin（2α+β）的值，把所求的式子中的角α變?yōu)椋?α+β）-（α+β）后，利用兩角差的余弦函數(shù)公式化簡后，將各自的值代入即可求出值．

解答：解：由α、β為銳角，得到α+β∈（0，π），2α+β∈（0，

3π

2

），
又cos（2α+β）=

3

5

＞0，得到2α+β∈（0，

π

2

），
所以sin（α+β）=

1-( 12 13 )2

=

5

13

，sin（2α+β）=

1-( 3 5 )2

=

4

5

，
則cosα=cos[（2α+β）-（α+β）]
=cos（2α+β）cos（α+β）+sin（2α+β）sin（α+β）
=

3

5

×

12

13

+

4

5

×

5

13

=

56

65

．
故答案為：

56

65

點(diǎn)評：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系及兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡求值，是一道基礎(chǔ)題．本題的關(guān)鍵是將所求式子中的角α變?yōu)椋?α+β）-（α+β）．