Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值；

（3）若正實(shí)數(shù)滿足，證明： ．

Answer 1

【答案】（1）;（2）見(jiàn)解析.

【解析】【試題分析】（1）依據(jù)題設(shè)條件運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解；（2）先將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再構(gòu)造函數(shù)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解；（3）先將問(wèn)題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化再構(gòu)造函數(shù)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)求解：

（1）因?yàn)?/span>， ， ，

所以切線方程為，即.

（2）令，

所以 ，

當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，所以，所以是上的遞增函數(shù)，

又因?yàn)?/span>，所以關(guān)于的不等式不能恒成立.

當(dāng)時(shí)， ，

令，得，所以當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ，

因此函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，故函數(shù)的最大值為.

令，

則在上是減函數(shù)，

因?yàn)?/span>， ，

所以當(dāng)時(shí)， ，所以整數(shù)的最小值為2．

（3）由，得

，

從而，

令，則由，得，可知在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以，所以，又，

因此成立.