Question

如圖，長(zhǎng)方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AB=4，BC=2，BB₁=26，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C₁、D、E的平面交BB₁于F.

(1)求證：EF∥DC₁；

(2)求二面角C₁DEC的大小；

(3)求點(diǎn)C到平面C₁DEF的距離.

Answer 1

(1)證明:由長(zhǎng)方體的性質(zhì)得，面A₁ABB₁∥面D₁DCC₁,

而EF與DC₁分別是截面與這一組平行平面的交線(xiàn)，

∴EF∥DC₁.

(2)解:連結(jié)CE、C₁E，在矩形ABCD內(nèi)，易得CE⊥DE，

由三垂線(xiàn)定理可得∠C₁EC即為二面角的平面角.

在Rt△C₁EC中，tan∠C₁EC==，

∴∠C₁EC=60°.

(3)解:由于平面C₁EC⊥平面C₁DEF,

∴點(diǎn)C到面C₁DEF的距離可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)C到直線(xiàn)C₁E的距離.

在Rt△C₁EC中，求出斜邊上的高為，即為所求.