Question

（2011•豐臺(tái)區(qū)二模）已知函數(shù)f(x)=

1

2

x2+

a

x

，  (a≠0)．
（1）當(dāng)x=1時(shí)函數(shù)y=f（x）取得極小值，求a的值；
（2）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞），求出導(dǎo)函數(shù)f′(x)=x-

a

x2

，利用x=1時(shí)函數(shù)y=f（x）取得極小值，可得f'（1）=0，從而可知a=1．再驗(yàn)證x=1是函數(shù)y=f（x）的極小值點(diǎn)即可． 
（2）f（x）的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞），求導(dǎo)函數(shù)f′(x)=x-

a

x2

=

x3-a

x2

，令f'（x）=0，得x=

3	a

．分a＜0，a＞0討論，從而確定，函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間與單調(diào)遞增區(qū)間．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞），…（1分）f′(x)=x-

a

x2

．                                                    …（3分）
∵x=1時(shí)函數(shù)y=f（x）取得極小值，
∴f'（1）=0．                                                        …（4分）
∴a=1．                                                           …（5分）
當(dāng)a=1時(shí)，在（0，1）內(nèi)f'（x）＜0，在（1，+∞）內(nèi)f'（x）＞0，…（6分）
∴x=1是函數(shù)y=f（x）的極小值點(diǎn)．
∴a=1有意義．                                                     …（7分）
（2）f（x）的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞），
f′(x)=x-

a

x2

=

x3-a

x2

．
令f'（x）=0，得x=

3	a

．                                            …（9分）
①當(dāng)a＜0時(shí)，

x	(-∞， 3 a )	3 a	( 3 a ，0)	（0，+∞）
f'（x）	-	0	+	+
f（x）	↘	極小值	↗	↗

∴當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞，

3	a

)，單調(diào)遞增區(qū)間為(

3	a

，0)，（0，+∞）；
②當(dāng)a＞0時(shí)，

x	（-∞，0）	(0， 3 a )	3 a	( 3 a ，+∞)
f'（x）	-	-	0	+
f（x）	↘	↘	極小值	↗

∴當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，0），(0，

3	a

)，單調(diào)遞增區(qū)間為(

3	a

，+∞)．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，考查函數(shù)的極值的求法，同時(shí)考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，解題時(shí)應(yīng)注意分類討論．