Question

已知四棱錐P-ABCD，底面是邊長為1的正方形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD且PA=1，M、N分別為AD、BC的中點，MQ⊥PD于Q．
（I）求證：AB∥平面MNQ；
（Ⅱ）求證：平面PMN⊥平面PAD；
（Ⅲ）求二面角P-MN-Q的余弦值．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)正方形的性質(zhì)，證出AB∥MN．利用線面平行判定定理即可證出AB∥平面MNQ；
（II）正方形中證出MN⊥AD，根據(jù)PA⊥平面ABCD證出MN⊥AP．利用線面垂直判定定理，證出MN⊥平面PAD，再由MN?平面PMN，證出平面PMN⊥平面PAD；
（II）由（II）的結(jié)論證出MN⊥PM且MN⊥MQ，得∠PMQ為二面角P-MN-Q的平面角．分別在Rt△MQD、Rt△PAM中算出MQ、PM長，最后在Rt△PMQ中利用三角函數(shù)的定義算出cos∠PMQ=

10

10

，即可得到二面角P-MN-Q的余弦值．

解答：解：（I）∵ABCD為正方形且M、N分別為AD、BC的中點，
∴AB∥MN．
又∵MN?平面MNQ，AB?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ．
（II）∵ABCD為正方形且M、N分別為AD、BC的中點，
∴MN⊥AD．
∵PA⊥平面ABCD，MN?平面ABCD，∴MN⊥AP．
又∵AD∩AP=A，∴MN⊥平面PAD，
∵MN?平面PMN，∴平面PMN⊥平面PAD．
（III）由（II）得MN⊥平面PAD，PM?平面PAD，MQ?平面PAD，
∴MN⊥PM，MN⊥MQ，可得∠PMQ為二面角P-MN-Q的平面角．
∵PA=AD=1，∴∠PDA=45°．
Rt△MQD中，MQ=

2

2

MD=

2

4

，Rt△PAM中，PM=

PA2+AM2

=

5

2

．
∴Rt△PMQ中，cos∠PMQ=

MQ

PM

=

2 4

5 2

=

10

10

，
可得二面角P-MN-Q的余弦值為

10

10

．

點評：本題在四棱錐P-ABCD中證明線面平行、面面垂直，并求二面角的大小．著重考查了空間平行、垂直位置關(guān)系的判斷與證明，以及二面角的定義與求法等知識，屬于中檔題．