Question

如圖，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左右焦點，過F₁的直線l與C的左、右兩支分別交于A，B兩點．若△ABF₂為等邊三角形，則雙曲線的離心率為

7

．

Answer 1

分析：設△ABF₂的邊長為m，則由雙曲線的定義，△ABF₂為等邊三角形，可求m的值，在△AF₁F₂中，由余弦定理，可得結論．

解答：解：設△ABF₂的邊長為m，則由雙曲線的定義，可得|BF₁|=m-2a
∴|AF₁|=2m-2a
∵|AF₁|-|AF₂|=2a
∴2m-2a-m=2a
∴m=4a
在△AF₁F₂中，|AF₁|=6a，|AF₂|=4a，|F₁F₂|=2c，∠F₁AF₂=60°
∴由余弦定理可得4c²=（6a）²+（4a）²-2•6a•4a•

1

2

∴c=

7

a
∴e=

c

a

=

7

故答案為：

7

．

點評：本題考查雙曲線的幾何性質，考查余弦定理的運用，屬于中檔題．