Question

數(shù)列a_n中，a₁=2，a_n+1=a_n+cⁿ（c＞0，c≠1，n∈N*，），且a₁，a₂，a₃成公比不為1的等比數(shù)列．
（1）求c的值；
（2）求a_n的通項(xiàng)公式．
（3）求數(shù)列na_n的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題設(shè)遞推式，分別求得a₁，a₂，a₃，根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)可知a₂²=a₁a₃，求得q．
（2）利用題設(shè)中的遞推式，采用疊加法求得數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（3）由于數(shù)列{na_n}由等比和等差數(shù)列構(gòu)成，進(jìn)而采用錯(cuò)位相減法求得數(shù)列的前n項(xiàng)的和．

解答：解：（1）a₁=2，a₂=2+c，a₃=2+c+c²
∵a₂²=a₁a₃
∴（2+c）²=2（2+c+c²）
解得c=0（舍去）或c=2
∴c=2

（2）由（1）知a_n+1-a_n=2ⁿ
∴當(dāng)n≥2時(shí)
a_n=（a_n-a_n-1）+…+（a₂-a₁）+a₁
=2^n-1+2^n-2++2¹+2
=

2-2n

1-2

+2=2n
當(dāng)n=1時(shí)，也符合，所以a_n=2ⁿ．

（3）na_n=n•2ⁿ
∴S_n=1•2¹+2•2²++（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ（1）
2S_n=1•2²+2•2³++（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹（2）
（1）-（2）：
-S_n=2+2²++2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
∴S_n=2+（n-1）2ⁿ⁺¹

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的求和問(wèn)題．考查了學(xué)生綜合分析問(wèn)題和基本的運(yùn)算能力．