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        1. (2012•廣州二模)某建筑物的上半部分是多面體MN-ABCD,下半部分是長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1(如圖1).該建筑物的正(主)視圖和側(cè)(左)視圖如圖2,其中正(主)視圖由正方形和等腰梯形組合而成,側(cè)(左)視圖由長(zhǎng)方形和等腰三角形組合而成.
          (1)求直線AM與平面ABCD,所成角的正弦值;
          (2)求二面角A-MN-C的余弦值;
          (3)求該建筑物的體積.
          分析:(1)在平面ABNM中,作NF⊥AB于F,再過(guò)F作FE∥BC,交CD于E,連接EN,先證明AB⊥平面EFN,再求出AM=BN=
          3
          ,利用M到平面ABCD的距離為1,即可求得直線AM與平面ABCD所成角的正弦值;
          (2)根據(jù)AB⊥平面EFN,AB∥MN,可得∠ENF為二面角A-MN-C的平面角,利用NF=NE=
          2
          ,EF=2,即可求得二面角A-MN-C的平面角;
          (3)在平面BAMN內(nèi),作MN⊥AB于H,過(guò)H作HG∥BC交CD于G,連接MG.先證明平面MHG∥平面NFE,結(jié)合MN∥AB∥CD,AB⊥平面EFN,得到三棱柱MHG-NFE是直三棱柱.從而將該建筑物分為四部分:三棱柱MHG-NFE+四棱錐M-ADGH+四棱錐N-BCEF+長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1,分別求出它們各自的體積,相加即得該建筑物的體積.
          解答:解:(1)在平面ABNM中,作NF⊥AB于F,再過(guò)F作FE∥BC,交CD于E,連接EN
          ∵AB⊥NF,AB⊥EF,NF∩EF=F,
          ∴AB⊥平面EFN.
          根據(jù)該建筑物的左視圖,可得△EFN是斜邊EF=2的等腰直角三角形.
          ∴NF=
          2
          2
          EF=
          2

          ∵四邊形ABNM是等腰梯形,MN∥AB,NF是高,
          ∴BF=
          1
          2
          (AB-MN)=
          1
          2
          (4-2)=1.
          ∴Rt△BFN中,BN=
          3

          結(jié)合四邊形ABNM是等腰梯形,得AM=BN=
          3

          ∵M(jìn)到平面ABCD的距離為1
          ∴直線AM與平面ABCD所成角的正弦值為
          1
          3
          =
          3
          3

          (2)∵AB⊥平面EFN,AB∥MN
          ∴∠ENF為二面角A-MN-C的平面角
          在△ENF中,NF=NE=
          2
          ,EF=2,∴∠ENF=90°
          ∴二面角A-MN-C的平面角為90°
          (3)在平面BAMN內(nèi),作MN⊥AB于H,過(guò)H作HG∥BC交CD于G,連接MG,
          ∵平面BAMN中,MH、NF都與AB垂直
          ∴MH∥NF,
          ∵M(jìn)H?平面MHG,NF?平面MHG,
          ∴NF∥平面MHG,同理可得EF∥平面MHG.
          ∵NF、EF是平面NFE內(nèi)的相交直線
          ∴平面MHG∥平面NFE
          又∵M(jìn)N∥AB∥CD,AB⊥平面EFN,
          ∴三棱柱MHG-NFE是直三棱柱.
          可得:V三棱柱MHG-NFE=S△EFN×MN=
          1
          2
          ×2×1×2=2,
          又∵矩形ABCD中,F(xiàn)E∥BC,
          ∴SBCEF=BF×BC=1×2=2,可得V四棱錐N-BCEF=
          1
          3
          ×SBCEF×1=
          2
          3

          同理可得:V四棱錐M-ADGH=
          2
          3
          ,
          又∵V長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1=SABCD×A1A=2×4×4=32
          ∴該建筑物的體積為V=V三棱柱MHG-NFE+V四棱錐M-ADGH+V四棱錐N-BCEF+V長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1=
          106
          3
          點(diǎn)評(píng):本題給出一個(gè)特殊建筑物,要求由三視圖還原實(shí)物圖,并求這個(gè)組合幾何體的面積,考查了組合體體積、線面垂直和線面角等知識(shí)點(diǎn).
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2012•廣州二模)甲、乙、丙三種食物的維生素含量及成本如下表所示
          食物類型
          維生索C(單位/kg) 300 500 300
          維生素D(單位/kg) 700 100 300
          成本(元/k) 5 4 3
          某工廠欲將這三種食物混合成100kg的混合食物,設(shè)所用食物甲、乙、丙的重量分別為x kg、y kg、z kg.
          (1)試以x、y表示混合食物的成本P;
          (2)若混合食物至少需含35000單位維生素C及40000單位維生素D,問(wèn)x、y、z取什么值時(shí),混合食物的成本最少?

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2012•廣州二模)已知函數(shù)f(x)=(cosx+sinx)(cosx-sinx).
          (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
          (2)若0<α<
          π
          2
          0<β<
          π
          2
          ,且f(
          α
          2
          )=
          1
          3
          ,f(
          β
          2
          )=
          2
          3
          ,求sin(α-β)的值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2012•廣州二模)在平行四邊形ABCD中,點(diǎn)E是AD的中點(diǎn),BE與AC相交于點(diǎn)F,若
          EF
          =m
          AB
          +n
          AD
          (m,n∈R)
          ,則
          m
          n
          的值為
          -2
          -2

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2012•廣州二模)已知向量
          OA
          =(3,-4),
          OB
          =(6,-3),
          OC
          =(m,m+1),若
          AB
          OC
          ,則實(shí)數(shù)m的值為( 。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2012•廣州二模)已知函數(shù)f(x)=ex-e-x+1(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),若f(a)=2,則f(-a)的值為(  )

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