Question

【題目】如圖，已知位于y軸左側(cè)的圓C與y軸相切于點(diǎn)（0，1）且被x軸分成的兩段圓弧長之比為1：2，過點(diǎn)H（0，t）的直線l于圓C相交于M、N兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O．

（1）求圓C的方程；
（2）當(dāng)t=1時，求出直線l的方程；
（3）求直線OM的斜率k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：因?yàn)槲挥趛軸左側(cè)的圓C與y軸相切于點(diǎn)（0，1），所以圓心C在直線y=1上，

設(shè)圓C與x軸的交點(diǎn)分別為A、B，

由圓C被x軸分成的兩段弧長之比為2：1，得 ，

所以CA=CB=2，圓心C的坐標(biāo)為（﹣2，1），

所以圓C的方程為：（x+2）2+（y﹣1）2=4

（2）解：當(dāng)t=1時，由題意知直線l的斜率存在，設(shè)直線l方程為y=mx+1，

由 得： 或 ，

不妨令 ，

因?yàn)橐訫N為直徑的圓恰好經(jīng)過O（0，0），

所以 =（ ， ）（0，1）= =0，

解得 ，所以所求直線l方程為 或

（3）解：設(shè)直線MO的方程為y=kx，

由題意知， ，解之得 ，

同理得， ，解之得 或k＞0．由（2）知，k=0也滿足題意．

所以k的取值范圍是 ．

【解析】（1）由題意可知圓心在直線y=1上，設(shè)出圓與x軸的交點(diǎn)分別為A和B，由被x軸分成的兩段圓弧長之比為1：2得到∠ACB的度數(shù)，根據(jù)直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，得到半徑AC和CB的長，進(jìn)而得到圓心C的坐標(biāo)，根據(jù)圓心坐標(biāo)和圓的半徑寫出圓C的方程即可；（2）由t的值得到H的坐標(biāo)，又直線l的斜率存在，設(shè)出直線l的方程，與圓的方程聯(lián)立即可求出兩交點(diǎn)坐標(biāo)分別設(shè)為M和N，由以MN為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角，得到 與 垂直，利用兩向量垂直時數(shù)量積為0，列出關(guān)于m的方程，求出方程的解即可得到m的值，寫出直線l的方程即可；（3）設(shè)出直線OM的方程，根據(jù)直線OM與圓的位置關(guān)系是相交，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到直線OM的距離d，讓d小于圓C的半徑列出關(guān)于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：；圓心為A(a,b),半徑為r的圓的方程)．