Question

【題目】已知橢圓，過右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且當(dāng)點(diǎn)是橢圓的上頂點(diǎn)時(shí)，，線段的中點(diǎn)為．

（1）求橢圓的方程；

（2）延長(zhǎng)線段與橢圓交于點(diǎn)，若，求此時(shí)的方程．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由題意可以知，可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，又點(diǎn)在橢圓上，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，即可求出，進(jìn)而求出橢圓方程；

（2）當(dāng)直線與垂直或與軸重合時(shí)，不滿足題意，故可設(shè)直線方程為：，由可知四邊形為平行四邊形，可得點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，再根據(jù)點(diǎn)差法即可求出結(jié)果.

（1）由題意可以知，、，設(shè)

則

∵點(diǎn)在橢圓上 ∴解得

∴∴橢圓的方程為：

（2）當(dāng)直線與垂直或與軸重合時(shí)，不滿足題意

∴可直線方程為：

設(shè)、、、

由可知四邊形為平行四邊形

∴點(diǎn)為線段的中點(diǎn)

由為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)、在橢圓上

∴則

可得又∵

可解得∴

∵點(diǎn)在橢圓上

∴整理得

解得或舍去

∴可知的方程為即.