Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²-ax+bln（x+1）（a，b∈R，且a≠2）．
（1）當b=1且函數(shù)f（x）在其定義域上為增函數(shù)時，求a的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，試用a表示b；
（3）在（2）的條件下，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（1）當b=1且函數(shù)f（x）在其定義域上為增函數(shù)，轉(zhuǎn)化為f′（x）≥0恒成立，x∈（-1，+∞），采取分離參數(shù)的方法求得a的取值范圍；（2）若函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，得f′（1）=0，求出a，b的方程；（3）在（2）的條件下，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性，求導，比較方程f′（x）=0兩根的大小，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：（1）當b=1時，函數(shù)f（x）=x²-ax+bln（x+1），
其定義域為（-1，+∞）．∴f′(x)=2x-a+

b

x+1

．
∵函數(shù)f（x）是增函數(shù)，∴當x＞-1時，∴f′(x)=2x-a+

b

x+1

≥0恒成立．
即當x＞-1時，a≤2x+

1

x+1

恒成立．
∵當x＞-1時，2x+

1

x+1

=2(x+1)+

1

x+1

-2≥2

2

-2，
且當x=

2

2

-1時取等號．∴a的取值范圍為(-∞，2

2

-2]．
（2）∵f′(x)=2x-a+

b

x+1

，且函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，
∴f′（1）=0．∴b=2a-4．此時f′(x)=2x-a+

2a-4

x+1

=

2(x-1)(x- a-4 2 )

x+1

．
當

a-4

2

=1，即a=6時，f'（x）≥0恒成立，
此時x=1不是極值點．∴b=2a-4（a≠6，且a≠2）
（3）由f′(x)=

2(x-1)(x- a-4 2 )

x+1

得
①當a＜2時，

a-4

2

≤-1．∴當-1＜x＜1時，f′（x）＜0；
當x＞1時，f′（x）＞0．∴當a＜2時，
f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，1），單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞）．
②當2＜a＜6時，-1＜

a-4

2

＜1．
∴當-1＜x＜

a-4

2

，或x＞1時，f'（x）＞0；
當

a-4

2

＜x＜1時，f'（x）＜0；
∴當2＜a＜6時，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為(

a-4

2

，1)，
單調(diào)遞增區(qū)間為(-1，

a-4

2

)，（1，+∞）．
③當a＞6時，

a-4

2

＞1．∴當-1＜x＜1，或x＞

a-4

2

時，f'（x）＞0；
當1＜x＜

a-4

2

時，f'（x）＜0；
∴當a＞6時，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為(1，

a-4

2

)，
單調(diào)遞增區(qū)間為(-1，1)，(

a-4

2

，+∞)．
綜上所述：∴當a＜2時，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，1），
單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞）；
當2＜a＜6時，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為(

a-4

2

，1)，
單調(diào)遞增區(qū)間為(-1，

a-4

2

)，(1，+∞)；
當a＞6時，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為(1，

a-4

2

)，
單調(diào)遞增區(qū)間為(-1，1)，(

a-4

2

，+∞)．

點評：考查函數(shù)在某點取得極值的條件和函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系，在求a的取值范圍時采取的分離參數(shù)的方法，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法，討論函數(shù)單調(diào)性是，對于程f′（x）=0兩根的大小的比較，體現(xiàn)了分類討論的思想方法，屬難題．