Question

已知點(diǎn)A（2，8），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）在拋物線上，△ABC的重心與此拋物線的焦點(diǎn)F重合（如圖）

（1）寫出該拋物線的方程和焦點(diǎn)F的坐標(biāo)；

（2）求線段BC中點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）求BC所在直線的方程.

 

Answer 1

【答案】

（1）拋物線方程為，焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（8，0）。.

（2）M的坐標(biāo)為（11，－4）。

（3）BC所在直線的方程為： 

【解析】（1）由點(diǎn)A（2，8）在拋物線上，有，

解得p=16. 所以拋物線方程為，焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（8，0）.

（2）如圖：

由于F（8，0）是△ABC的重心，M是BC的中點(diǎn)，所以F是線段AM的定比分點(diǎn)，且，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則，解得，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為（11，－4）．

（3）由于線段BC的中點(diǎn)M不在x軸上，所以BC所在的直線不垂直于x軸.設(shè)BC所在直線的方程為：

由消x得，

所以，由（2）的結(jié)論得，解得

因此BC所在直線的方程為：

考點(diǎn)：直線與拋物線相交問(wèn)題、重心定理

點(diǎn)評(píng)：本題是一個(gè)綜合問(wèn)題，（1）比較基礎(chǔ)，考查了拋物線的方程的求法；（2）主要利用重心定理和線段的定比分點(diǎn)來(lái)解決；（3）考查了拋物線的交線方程的求法，注意應(yīng)用設(shè)而不解整體代入的思想來(lái)求斜率的值。