Question

理科（本小題14分）已知函數(shù)，當時，函數(shù)取得極大值.
（Ⅰ）求實數(shù)的值；（Ⅱ）已知結論：若函數(shù)在區(qū)間內導數(shù)都存在，且，則存在，使得.試用這個結論證明：若，函數(shù)，則對任意，都有；（Ⅲ）已知正數(shù)滿足求證：當，時，對任意大于，且互不相等的實數(shù),都有

Answer 1

（Ⅰ）.
（Ⅱ）
當時，，單調遞增，；
當時，，單調遞減，；（Ⅲ）用數(shù)學歸納法證明.

試題分析：（Ⅰ）. 由，得，此時.
當時，，函數(shù)在區(qū)間上單調遞增；
當時，，函數(shù)在區(qū)間上單調遞減.
函數(shù)在處取得極大值，故.   3分
（Ⅱ）令，  4分
則.函數(shù)在上可導，存在，使得.
又
當時，，單調遞增，；
當時，，單調遞減，；
故對任意，都有.   8分
（Ⅲ）用數(shù)學歸納法證明.
①當時，，且，，
，由（Ⅱ）得，即
，
當時，結論成立.   9分
②假設當時結論成立，即當時，
. 當時，設正數(shù)滿足令，
 
則，且.


13分
當時，結論也成立.
綜上由①②，對任意，，結論恒成立.   14分
點評：難題，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值、最值，是導數(shù)的應用中的基本問題。本題（III）應用數(shù)學歸納法證明不等式，難度較大。涉及對數(shù)函數(shù)，要特別注意函數(shù)的定義域。