Question

已知下列兩個(gè)命題：p：?x∈[0，+∞），不等式ax≥

x

-1恒成立；q：1是關(guān)于x的不等式（x-a）（x-a-1）≤0的一個(gè)解．若兩個(gè)命題中有且只有一個(gè)是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：兩個(gè)命題中有且只有一個(gè)是真命題，則需要對(duì)p、q的誰(shuí)真誰(shuí)假分情況討論．對(duì)于命題p可以利用分參思想轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題．對(duì)于命題q知道該表達(dá)式的一個(gè)解，直接代入就可求出q．

解答：解：命題p：當(dāng)x=0時(shí)，有0≥-1，顯然成立．即a∈R．
當(dāng)x＞0時(shí)，有a≥

x -1

x

= 

1

x

-

1

x

恒成立．
令f（x）=

1

x

-

1

x

，則f（x）=-（

1

x

-

1

2

）²+

1

4

≤

1

4

，即f（x）_max=

1

4

∴命題 p：當(dāng)x=0時(shí)，a∈R；   當(dāng)x＞0時(shí)，a≥

1

4

．
命題q：∵1是關(guān)于x的不等式（x-a）（x-a-1）≤0的一個(gè)解，
∴-a（1-a）≤0
∴a（a-1）≤0，解得：0≤a≤1
即，命題q：0≤a≤1
∵兩個(gè)命題中有且只有一個(gè)是真命題，
綜上所述，當(dāng)p真q假時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍為a＞1
當(dāng)p假q真時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍[0，

1

4

）

點(diǎn)評(píng)：命題p∧q和pVq真假的判定依據(jù)：
命題p、q中只要有一個(gè)是假命題，那么p∧q就是假命題；
命題p、q中只要有一個(gè)是真命題，那么pVq就是真命題．