Question

某整數(shù)集合A既含有正整數(shù)，也含有負整數(shù)，而且如果a和b是它的元素，那么2a和a＋b也是它的元素，證明：集合A包含它的任意兩個元素之差．

Answer 1

證明：不難證明：如果整數(shù)c是集合A的元素，而n是自然數(shù)，那么nc也屬于集合A．

因為集合A既含有正整數(shù)，也含有負整數(shù)，根據(jù)最小數(shù)原理，集合A存在最小的正整數(shù)a和絕對值最小的負整數(shù)b．這兩個數(shù)的和a＋b也應該屬于集合A，而且滿足不等式．

b＜a＋b＜a

但是集合A不含有小于a的正數(shù)和大于b的負數(shù)，所以a＋b只能等于0．因此，數(shù)0屬于集合A，且b＝－a．根據(jù)前面所證，集合A包含數(shù)a的所有整數(shù)倍．

設x∈A，則由帶余數(shù)除法，存在整數(shù)q、r，使x＝qa＋r(0≤r＜a)．于是r＝x＋(－qa)∈A．由于0≤r＜a，必有r＝0．即A中的數(shù)均為a的整數(shù)倍．

既然集合A的元素都是a的整數(shù)倍，因此集合A的任意兩個元素之差也是元素a的整數(shù)倍，因而屬于集合A．