Question

已知函數(shù)f（x）=e^x（x²+ax-a），其中a是常數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[0，+∞）上的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，求得在x=1處的函數(shù)值與斜率，即可確定f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）令f′（x）=e^x[x²+（a+2）x]=0，解得x=-（a+2）或x=0，分類(lèi)討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可得函數(shù)的極值與最值．

解答：解：（Ⅰ）由f（x）=e^x（x²+ax-a），可得f′（x）=e^x[x²+（a+2）x]．…（2分）
當(dāng)a=1時(shí)，f（1）=e，f′（1）=4e．…（4分）
所以曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y-e=4e（x-1），即y=4ex-3e．…（6分）
（Ⅱ）令f′（x）=e^x[x²+（a+2）x]=0，解得x=-（a+2）或x=0．…（8分）
當(dāng)-（a+2）≤0，即a≥-2時(shí)，在區(qū)間[0，+∞）上，f′（x）≥0，所以f（x）是[0，+∞）上的增函數(shù)．
所以f（x）的最小值為f（0）=-a；         …（10分）
當(dāng)-（a+2）＞0，即a＜-2時(shí)，f′（x），f（x）隨x的變化情況如下表

x	0	（0，-（a+2））	-（a+2）	（-（a+2），+∞）
f′（x）	0	-	0	+
f（x）	f（0）	↘	f（-（a+2））	↗

由上表可知函數(shù)f（x）的最小值為f（-（a+2））=

a+4

ea+2

．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，正確求導(dǎo)是關(guān)鍵．