Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

6

3

，其左、右焦點(diǎn)分別是F₁、F₂，點(diǎn)P是坐標(biāo)平面內(nèi)的一點(diǎn)，且|OP|=

10

2

，

PF1

•

PF2

=

1

2

（點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）直線l：y=kx+1交橢圓于不同的兩點(diǎn)A，B．若△AOB面積為

3 2

7

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（I）設(shè)P（x₀，y₀），F(xiàn)₁（c，0），F(xiàn)₂（c，0），由|PO|=

10

2

，

PF1

•

PF2

=

1

2

可得x₀，y₀的方程，聯(lián)立方程可求C，然后由

c

a

=

6

3

可求a，進(jìn)而可求b，及橢圓方程
（Ⅱ）將y=kx+1代入橢圓方程，整理得（1+3k²）x²+6kx=0&△＞0（*），結(jié)合方程的根與系數(shù)關(guān)系可求x₁+x₂，x₁x₂，代入弦長(zhǎng)公式可得|AB|=

1+k2

|x2-x1|=

1+k2

6|k|

3k2+1

，再求出O到直線的距離d=

1

1+k2

，代入面積公式S△AOB=

1

2

|AB|d=

3|k|

3k2+1

=

3 2

7

可求k，從而可求直線方程

解答：解：（I）設(shè)P（x₀，y₀），F(xiàn)₁（c，0），F(xiàn)₂（c，0）
由|PO|=

x02+y02

=

10

2

可得x02+y02=

5

2

由

PF1

•

PF2

=

1

2

可得(-c-x0，-y0)•(c-x0，-y0)=

1

2

即x02+y02-c2=

1

2

∴c=

2

∵

c

a

=

6

3

∴a²=3，b²=1
∴橢圓C的方程為

x2

3

+y2=1
（Ⅱ）將y=kx+1代入橢圓方程，整理得（1+3k²）x²+6kx=0
則可得△＞0（*）
∴x1+x2=

-6k

1+3k2

，x1x2=0
∴|AB|=

1+k2

|x2-x1|=

1+k2

6|k|

3k2+1

     
O到直線的距離d=

1

1+k2

∴S△AOB=

1

2

|AB|d=

3|k|

3k2+1

=

3 2

7

∴k=±

2

6

或k=±

2

所求l的方程為y=

2

x+1或y=-

2

x+1或y=

2

6

x+1或y=-

2

6

x+1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察 了由橢圓性質(zhì)求解橢圓方程，直線與橢圓相交關(guān)系的應(yīng)用，方程的根與系數(shù)關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式及三角形的面積公式的應(yīng)用．