(Ⅰ)求證:PC⊥AB;
(Ⅱ)求二面角B-AP-C的大小.
解法一:
(Ⅰ)取AB中點D,連結(jié)PD,CD.
∵AP=BP,
∴PD⊥AB.
∵AC=BC.
∴CD⊥AB.
∵PD∩CD=D.
∴AB⊥平面PCD.
∵PC平面PCD,
∴PC⊥AB.
(Ⅱ)∵AC=BC,AP=BP,
∴△APC≌△BPC.
又PC⊥AC,
∴PC⊥BC.
又∠ACB=90°,即AC⊥BC,
且AC∩PC=C,
∴BC⊥平面PAC.
取AP中點E,連結(jié)BE,CE.
∵AB=BP,
∴BE⊥AP.
∵EC是BE在平面PAC內(nèi)的射影,
∴CE⊥AP.
∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角.
在△BCE中,∠BCE=90°,BC=2,BE=,
∴sin∠BEC=
∴二面角B-AP-C的大小為aresin
解法二:
(Ⅰ)∵AC=BC,AP=BP,
∴△APC≌△BPC.
又PC⊥AC.
∴PC⊥BC.
∵AC∩BC=C,
∴PC⊥平面ABC.
∵AB平面ABC,
∴PC⊥AB.(Ⅱ)如圖,以C為原點建立空間直角坐標系C-xyz.
則C(0,0,0),A(0,2,0),B(2,0,0).
設P(0,0,t),
∵|PB|=|AB|=2,
∴t=2,P(0,0,2).
取AP中點E,連結(jié)BE,CE.
∵|AC|=|PC|,|AB|=|BP|,
∴CE⊥AP,BE⊥AP.
∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角.
∵E(0,1,1),
∴cos∠BEC=
∴二面角B-AP-C的大小為arccos
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