Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，頂點A₁在底面ABC上的射影恰為點B，且AB=AC=A₁B=2．
（1）求棱AA₁與BC所成的角的大小；
（2）在棱B₁C₁上確定一點P，使AP=

14

，并求出二面角P-AB-A₁的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由題意建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，寫出相應(yīng)點的坐標(biāo)，利用向量的夾角求出要求的兩條直線的夾角；
（2）利用上一問寫出相應(yīng)的向量的坐標(biāo)，利用向量的夾角求出二面角的大�。�

解答：解：（1）如圖，以A為原點建立空間直角坐標(biāo)系，
則C（2，0，0），B（0，2，0），A₁（0，2，2），
B₁（0，4，2），

AA1

=(0，2，2)，

BC

=

B1C1

=(2，-2，0)．cos?

AA1

，

BC

＞=

AA1 • BC

| AA1 |•| BC |

=

-4

8 • 8

=-

1

2

，
故AA₁與棱BC所成的角是

π

3

．
（2）設(shè)

B1P

=λ

B1C1

=(2λ，-2λ， 0)，
則P（2λ，4-2λ，2）．
于是AP=

4λ2+(4-2λ)2+4

=

14

?λ=

1

2

（λ=

3

2

舍去），
則P為棱B₁C₁的中點，其坐標(biāo)為P（1，3，2）．
設(shè)平面P-AB-A₁的法向量為

n1

=（x，y，z），
則

n1 • AP =0 n1 • AB =0

?

x+3y+2z=0 2y=0

?

x=-2z y=0

故

n1

=（-2，0，1）．
而平面ABA₁的法向量是

n2

=（1，0，0），
則cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2|

=

-2

5

，
故二面角P-AB-A₁的平面角的余弦值是

2 5

5

．

點評：此題重點考查了利用圖形建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用向量的夾角求出線線的夾角及二面角的大小．