Question

已知A、B是橢圓的一條弦，向量與AB交于M，且，以M為焦點，以橢圓的右準線為相應的雙曲線與直線AB交于N(4，-1)。

（1）求橢圓的離心率e；

（2）設雙曲線的離心率為e₂，e₁+e₂=f(a)，求f(a)的解析式，并求它的定義域和值域。

Answer 1

答案：
解析：

解：（1）由與AB交于M，則M是AB的中點， ∵  ∴ M(2，1) 設A(x1，y1)，B(x2，y2) ∴ 且A、B在橢圓上 ∴ ②-①：b2(x1-x2)(x1+x2)+a2(y1-y2)(y1+y2)=0 ∴ a2=2b2， ∵ a2+b2=c2  ∴ b2=c2  ∴ 。 （2）設橢圓的右準線為l，過N作NN¢^l于N¢， 則由雙曲線定義及題意知， ； 則。 由題設知lAB：y=-x+3，代入橢圓方程，消去y得3x2-12x+18-a2=0， 由D=122-12(18-a2)>0，有a2>6，∴ ， 又， ∴ ，再由e>1可得：， ∴ f(a)的定義域為：。由，可得 。 所以f(a)在區(qū)間上，以及區(qū)間上是減函數(shù)。則 , 即。 求f(a)的定義域還可以用下面的方法：由M(2，1)在橢圓的內(nèi)部，e2>1，以及 ，a2=2b2。得：解得： 即。