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        1. 已知圓C的方程為x2+y2=4,動點P滿足:過點P作直線與圓C相交所得的所有弦中,弦長最小的為2,記所有滿足條件的點P形成的幾何圖形為曲線M.
          (1)寫出曲線M所對應(yīng)的方程;(不需要解答過程)
          (2)過點S(0,2)的直線l與圓C交于A,B兩點,與曲線M交于E,F(xiàn)兩點,若AB=2EF,求直線l的方程;
          (3)設(shè)點T(x0,y0).
          ①當y0=0時,若過點T存在一對互相垂直的直線同時與圓C有兩個公共點,求實數(shù)x0的取值范圍;
          ②若過點T存在一對互相垂直的直線同時與圓C有兩個公共點,試探求實數(shù)x0,y0應(yīng)滿足的條件.
          分析:(1)由于過點P作直線與圓C相交所得的所有弦中,弦長最小的為2,所以滿足條件的點P形成的幾何圖形是以O(shè)為圓心,
          3
          為半徑的圓,從而可求曲線M所對應(yīng)的方程;
          (2)分類討論:當斜率不存在時,結(jié)論不成立;當斜率存在時,假設(shè)直線方程為y=kx+2,利用圓心到直線的距離,結(jié)合AB=2EF,可求直線l的方程;
          (3)①假設(shè)存在,要使存在一對互相垂直的直線同時與圓C有兩個公共點,則由圓心到直線的距離小于半徑,故可建立不等關(guān)系,從而可求;②根據(jù)①的探究方法,結(jié)合圖形,可得結(jié)論.
          解答:解:(1)由題意,∵過點P作直線與圓C相交所得的所有弦中,弦長最小的為2,
          ∴滿足條件的點P形成的幾何圖形是以O(shè)為圓心,
          3
          為半徑的圓
          ∴曲線M所對應(yīng)的方程為:x2+y2=3
          (2)當斜率不存在時,結(jié)論不成立
          當斜率存在時,假設(shè)直線方程為y=kx+2,圓心到直線的距離為
          2
          k2+1

          由題意AB=2EF,∴4-
          4
          k2+1
          =4×(3-
          4
          k2+1
          )
          ,
          k=±
          2
          2

          ∴直線l的方程為y=±
          2
          2
          x+2
          ;
          (3)①不妨假設(shè)一條直線方程為y=k(x-x0)(k>0),則另一條直線方程為y=-
          1
          k
          (x-x0)

          要使存在一對互相垂直的直線同時與圓C有兩個公共點,則由圓心到直線的距離小于半徑
          -2
          k2+1
          k2
          x0<2
          k2+1
          k2
          ,-2
          k2+1
          x0<2
          k2+1

          ∴-2<x0<2
          ②不妨假設(shè)一條直線方程為y-y0=k(x-x0)(k>0),則另一條直線方程為y-y0=-
          1
          k
          (x-x0)

          要使存在一對互相垂直的直線同時與圓C有兩個公共點,則由圓心到直線的距離小于半徑
          由①探求可知,點T必須在圓的內(nèi)部,此時才能始終存在一對互相垂直的直線同時與圓C有兩個公共點
          ∴x02+y02<4
          點評:本題的考點是直線與圓的方程的應(yīng)用,主要考查求解直線與圓的方程,解題時應(yīng)主要分類討論,否則會漏解.
          練習(xí)冊系列答案
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          x2
          4
          +
          y2
          12
          =1
          上經(jīng)過點(1,3)的切線方程為
          x+y-4=0
          x+y-4=0

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          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          (a>b>0)
          的右頂點和上頂點.
          (1)求橢圓T的方程;
          (2)是否存在斜率為
          1
          2
          的直線l與曲線C交于P、Q兩不同點,使得
          OP
          OQ
          =
          5
          2
          (O為坐標原點),若存在,求出直線l的方程,否則,說明理由.

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