Question

已知函數f（x）=mx³+3x²-3x，m∈R．
（Ⅰ）若函數f（x）在x=-1處取得極值，試求m的值，并求f（x）在點M（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）設m＜0，若函數f（x）在（2，+∞）上存在單調遞增區(qū)間，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由題意可得，f′（-1）=0，代入求出m，根據導數的幾何意義求出函數在x=1處的導數值即為切線的斜率k=f′（1），從而可得切線方程y-f（1）=k（x-1）即可．
（II）若函數f（x）在（2，+∞）上存在單調遞增區(qū)間?存在區(qū)間I⊆（2，+∞），使得x∈I時，f′（x）＞0，求解即可．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=3mx²+6x-3．
因為函數f（x）在x=-1處取得極值，所以f'（-1）=0，解得m=3．
于是函數f（x）=3x³+3x²-3x，f（1）=3，f'（x）=9x²+6x-3．
函數f（x）在點M（1，3）處的切線的斜率k=f'（1）=12，
則f（x）在點M處的切線方程為12x-y-9=0．（6分）
（Ⅱ）當m＜0時，f'（x）=3mx²+6x-3是開口向下的拋物線，
要使f'（x）在（2，+∞）上存在子區(qū)間使f'（x）＞0，
應滿足

m＜0 - 1 m ≥2 f′(- 1 m )＞0

或

m＜0 - 1 m ＜2 f′(2)＞0.

解得-

1

2

≤m＜0，或-

3

4

＜m＜-

1

2

，所以m的取值范圍是(-

3

4

，0)．（14分）

點評：本體主要考查了函數存在極值的性質：函數在x=x₀處取得極值，則f′（x₀）=0，但f′（x₀）=0，函數在處不一定是極值點；函數f（x）在（2，+∞）上存在單調遞增區(qū)間與函數f（x）在（2，+∞）單調遞增是兩個完全不同的概念，要注意區(qū)分．