Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足S_n=2-a_n（n∈N⁺）
（Ⅰ）求a_n的通項公式；
（Ⅱ）定義f(k)=

20

i=1

aiai+k-1（這里規(guī)定a₂₁=a₁，a₂₂=a₂，…，a₃₉=a₁₉），k=1，2，3，…，20，求f（k）的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先由S_n=2-a_n得S_n-1=2-a_n-1，兩式作差可求遞推關(guān)系an=

1

2

an-1，得數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）先寫出f（k）的表達(dá)式，再利用等比數(shù)列的求和公式求出其結(jié)果，最后利用函數(shù)的單調(diào)性求其最小值．

解答：解：（Ⅰ）因為S_n=2-a_n（n∈N⁺），所以a₁=1，
當(dāng)n≥2時，S_n-1=2-a_n-1，所以a_n=-a_n+a_n-1，
即an=

1

2

an-1．
所以an=(

1

2

)n-1（4分）
（Ⅱ）由題設(shè)得，f（k）=a₁a_1+k-1+a₂a_2+k-1+…+a_21-ka₂₀+a_22-ka₁+…+a₂₀a_k-1（6分）
=

1

2k-1

+

1

2k+1

+…+

1

239-k

+

1

221-k

+…+

1

2k+17

=

4(220-1)

3•241

(2k+

222

2k

)（10分）
由函數(shù)g(x)=x+

222

x

的性質(zhì)可知，當(dāng)k=11時，f（k）取到最小值

4(220-1)

3•219

．（14分）

點評：本題主要考查數(shù)列的遞推關(guān)系式以及等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用．是對數(shù)列知識的綜合考查．本題的難點在與對第二問的f（k）的表達(dá)式的整理．