Question

已知函數(shù)f（x）定義在R上，對(duì)任意實(shí)數(shù)x有f（x+4）=-f（x）+2

2

，若函數(shù)y=f（x-1）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，f（-1）=2，則f（2013）=（　　）

• A、-2+2

  2

• B、2+2

  2

• C、2-2

  2

• D、2

Answer 1

分析：依題意，可求得f（-x）=f（x），且f（x+4）+f（x）=2

2

，又f（-1）=2，經(jīng)計(jì)算得到規(guī)律：f（5）=f（13）=f（21）=…=f（5+8n）=2

2

-2，從而可求f（2013）的值．

解答：解：∵y=f（x-1）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，向左平移1個(gè)單位，得y=f（x）圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，
即f（-x）=f（x），
又f（x+4）=-f（x）+2

2

，
∴f（x+4）+f（x）=2

2

，
∵f（-1）=2，f（-x）=f（x），
∴f（1）=2，
∴f（3）=2

2

-f（-1）=2

2

-2，
同理可得：f（5）=2

2

-2，f（7）=2，
f（9）=2，f（11）=2

2

-2，
f（13）=2

2

-2，
…
即f（1）=f（9）=f（17）=…=f（1+8n）=2，
f（3）=f（11）=f（19）=…=f（3+8n）=2

2

-2，
f（5）=f（13）=f（21）=…=f（5+8n）=2

2

-2，
f（7）=f（15）=f（23）=…=f（7+8n）=2；
又2013=5+251×8，
∴f（2013）=f（5）=2

2

-2，
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及其性質(zhì)，著重考查函數(shù)的奇偶性與周期性的綜合應(yīng)用，求得f（5）=f（13）=f（21）=…=f（5+8n）=2

2

-2是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，屬于難題．