Question

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+ln（2-x）+ax（a＞0）
（1）當(dāng)a=

∫

π 2 0

(cos2

x

2

-sin2

x

2

)dx時(shí)，若f（x）在（0，m]上是單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍；
（2）若f（x）在（0，1]上的最大值為

1

2

，求a的值．

Answer 1

分析：（1）先利用定積分求出a=1，f′（x）=

1

x

-

1

2-x

+1，求解f（x）的單調(diào)區(qū)間，只需令f′（x）＞0解出單調(diào)增區(qū)間，令f′（x）＜0解出單調(diào)減區(qū)間，從而得出m的取值范圍．
（2）函數(shù)在區(qū)間（0，1]上的最值問題，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，結(jié)合極值點(diǎn)和端點(diǎn)的比較得到其最值，即可確定待定量a的值．

解答：解：對函數(shù)求導(dǎo)得：f′(x)=

1

x

-

1

2-x

+a，定義域?yàn)椋?，2）
（1）由于a=

∫

π 2 0

(cos2

x

2

-sin2

x

2

)dx=

∫

π 2 0

(cosx)dx=sinx|

π 2 0

=1
當(dāng)a=1時(shí)，f′（x）=

1

x

-

1

2-x

+1，
當(dāng)f′（x）＞0，即0＜x＜

2

時(shí)，f（x）為增函數(shù)；當(dāng)f′（x）＜0，

2

＜x＜2時(shí)，f（x）為減函數(shù)．
所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，

2

），單調(diào)減區(qū)間為（

2

，2），
若f（x）在（0，m]上是單調(diào)函數(shù)，則m≤

2

．
∴m的取值范圍：0＜m≤

2

．
（2）當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，f′(x)=

1

x

-

1

2-x

+a＞0，
得（0，1]為單調(diào)遞增區(qū)間．
從而最大值在右端點(diǎn)取到．fmax=f(1)=a=

1

2

所以a=

1

2

．

點(diǎn)評：考查定積分、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)最值等知識．