Question

在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角是A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，其中c=10，且

cosA

cosB

=

b

a

=

4

3

．
（1）求證：△ABC是直角三角形；
（2）設(shè)圓O過(guò)A，B，C三點(diǎn)，點(diǎn)P位于劣弧AC上，∠PAB=60°，求四邊形ABCP的面積．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)條件

cosA

cosB

=

b

a

=

4

3

．利用正弦定理可得

cosA

cosB

=

sinB

sinA

．，整理得討論知，A=B或者A+B=

π

2

．又

b

a

=

4

3

，所以A+B=

π

2

．
由此可以得出，△ABC是直角三角形；
（2）將四邊形ABCP的面積表示成兩個(gè)三角形S_△ABC與S_△PAC的和，S_△ABC易求，S_△PAC需求出線段PA的長(zhǎng)度與sin∠PAC的值，利用三角形的面積公式求解即可．

解答：解：（1）證明：根據(jù)正弦定理得，

cosA

cosB

=

sinB

sinA

．
整理為：sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，
因?yàn)?＜A＜π，0＜B＜π，所以0＜2A＜2π，0＜2B＜2π，所以A=B，或者A+B=

π

2

．
由于

b

a

=

4

3

，所以A≠B，所以A+B=

π

2

，即C=

π

2

，
故△ABC是直角三角形．
（2）由（1）可得：a=6，b=8．
在Rt△ABC中，sin∠CAB=

BC

AB

=

3

5

，cos∠CAB=

4

5

sin∠PAC=sin（60°-∠CAB）
=sin60°cos∠CAB-cos60°sin∠CAB
=

3

2

×

4

5

-

1

2

×

3

5

=

1

10

(4

3

-3)．
連接PB，在Rt△APB中，AP=AB•cos∠PAB=5．
所以四邊形ABCP的面積
S_{四邊形△ABCP}=S_△ABC+S_△PAC
=

1

2

ab+

1

2

AP•AC•sin∠PAC
=24+

1

2

×5×8×

1

10

(4

5

-3)=18+8

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題第一問(wèn)考查正弦定理與分類討論的思想，第二問(wèn)是探究型題，需分部來(lái)求四邊形的面積，化整為零，先求局部再求整體，方法較好．