Question

已知橢圓C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左，右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，其中F₂也是拋物線C2：y2=4x的焦點，M是C₁與C₂在第一象限的交點，且MF2=

5

3

．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）已知點A（1，m）（m＞0）是橢圓C₁上一點，E，F(xiàn)是橢圓C₁上的兩個動點，若直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，探求直線EF的斜率是否為定值？如果是，求出定值；反之，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）利用拋物線的定義及其性質(zhì)可得焦點F₂、交點M的坐標(biāo)，把點M的坐標(biāo)代人橢圓的方程及a²=b²+c²即可得出；
（II）把A（1，m）（m＞0）代人橢圓的方程得

1

4

+

m2

3

=1，解得m=

3

2

，得到A(1，

3

2

)．設(shè)直線AE的方程為y=k(x-1)+

3

2

，與橢圓的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得到點E的橫坐標(biāo)，進而得到坐標(biāo)；把k換成-k即可得到點F的坐標(biāo)，利用斜率公式求得直線EF的斜率．

解答：解：（I）設(shè)M（x₁，y₁），
由拋物線C2：y2=4x的方程，得焦點（1，0），
∴F₂（1，0），又|MF2|=

5

3

．
由拋物線定義，x1+1=

5

3

，∴x1=

2

3

，
∵

y

2 1

=4x1，∴y1=

2 6

3

，∴M(

2

3

，

2 6

3

)，
∵M點C₁上，∴

4

9a2

+

8

3b2

=1，又b2=a2-1，
∴9a²-37a²+4=0，∴a²=4或a2=

1

9

．
而a2=

1

9

＜1=c2，應(yīng)舍去．
∴a²=4，b²=3，
∴橢圓C₁的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（II）把A（1，m）（m＞0）代人橢圓的方程得

1

4

+

m2

3

=1，解得m=

3

2

，∴A(1，

3

2

)．
設(shè)直線AE的方程為y=k(x-1)+

3

2

，
代人橢圓方程得(3+4k2)x2+4k(3-2k)x+4(

3

2

-k)2-12=0，
設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），則1×x1=

4( 3 2 -k)2-12

3+4k2

，
可得x1=

4( 3 2 -k)2-12

3+4k2

，y1=kx1+

3

2

-k，
把上面的斜率k換成-k即可得出
x2=

4( 3 2 +k)2-12

3+4k2

，y1=-kx1+

3

2

+k，
故kEF=

-k(x1+x2)+2k

x2-x1

=

1

2

為定值．

點評：本題綜合考查了圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，直線與曲線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、直線的斜率計算公式，需要較強的推理能力和計算能力．