Question

已知函數(shù)f（x）=+lnx-1（a是常數(shù)，e=2.71828）．
（Ⅰ）若x=2是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，方程f（x）=m在x∈[，e²]上有兩解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）求證：ln（n＞1，且n∈N^*）．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）對(duì)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，因?yàn)閤=2是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，可得f′（2）=0，求得a的值，求出切點(diǎn)根據(jù)導(dǎo)數(shù)與斜率的關(guān)系求出切線方程；
（Ⅱ）把a(bǔ)=1代入函數(shù)f（x）=+lnx-1，對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)，方程f（x）=m在x∈[，e²]上有兩解，將問題轉(zhuǎn)化為求f（x）的值域，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f（x）的最值問題；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，a=1時(shí)，由（2）知f（x）=+lnx在[1，+∞）上為增函數(shù)，可以令x=，得到一個(gè)不等式，利用此不等式進(jìn)行放縮證明；
解答：解：（Ⅰ）f′（x）=，x=2是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，
∴f′（2）=0，可得=0，得a=2，
∴f′（1）=1-a=-1，
點(diǎn)（1，f（1））即（1，2），
∴y-2=（-1）（x-1），即x+y-1=0
∴切線方程為x+y-1=0；
（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=+lnx-1，f′（x）=，其中x∈[，e²]，
當(dāng)x∈[，1）時(shí)，f′（x）＜0；
x∈（1，e²]時(shí)，f′（x）＞0，
∴x=1是f（x）在[，e²]上唯一的極小值點(diǎn)，
∴[f（x）_min]=f（1）=0；
f（）=e-2，f（e²）=+lne²-1=+1，
f（）-f（e²）=e-2--1＜0，
綜上，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為{m|0≤m≤e-2}；
（Ⅲ）若a=1時(shí)，由（2）知f（x）=+lnx在[1，+∞）上為增函數(shù)，
當(dāng)n＞1時(shí)，令x=，則x＞1，故f（x）＞f（1）=0，
即f（）=+ln=-+ln＞0，
∴l(xiāng)n＞（n＞1，且n∈N^*）；
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及函數(shù)的最值問題，此題考查的知識(shí)點(diǎn)比較全面，第三問難度比較大，需要用到前兩問的結(jié)論，此題是一道中檔題；