Question

由半橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（x≥0）與半橢圓

x2

b2

+

y2

c2

=1（x≤0）合成的曲線稱作“果圓”，如圖所示，其中a²=b²+c²，a＞b＞c＞0．由右橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（x≥0）的焦點F₀和左橢圓

x2

b2

+

y2

c2

=1（x≤0）的焦點F₁，F(xiàn)₂確定的△F₀F₁F₂叫做果圓的焦點三角形，若果圓的焦點三角形為銳角三角形，則右橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（x≥0）的離心率的取值范圍為（　　）

• A、(

  1

  3

  ，1)
• B、(

  2

  3

  ，1)
• C、(

  3

  3

  ，1)
• D、(0，

  3

  3

  )

Answer 1

分析：根據(jù)“果圓”關(guān)于x軸對稱，得到△F₁F₀F₂是以F₁F₂為底面的等腰三角形，從而可得：若△F₀F₁F₂為銳角三角形，則|0F₀|＞|0F₁|．由此建立關(guān)于a、b、c的不等式，結(jié)合橢圓離心率的公式與離心率的取值范圍解此不等式，即可算出右橢圓離心率的取值范圍．

解答：解：連結(jié)F₀F₁、F₀F₂，
根據(jù)“果圓”關(guān)于x軸對稱，可得△F₁F₀F₂是以F₁F₂為底面的等腰三角形，
∵△F₀F₁F₂是銳角三角形，
∴等腰△F₀F₁F₂的頂角為銳角，即∠F₁F₀F₂∈（0，

π

2

）．
由此可得|0F₀|＞|0F₁|，
∵|0F₀|、|0F₁|分別是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1、

x2

b2

+

y2

c2

=1的半焦距，
∴c＞

b2-c2

，平方得c²＞b²-c²，
又∵b²=a²-c²，∴c²＞a²-2c²，解得3c²＞a²，
兩邊都除以a²，得3•(

c

a

)2＞1，解之得

c

a

＞

3

3

．
∵右橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（x≥0）的離心率e=

c

a

∈（0，1），
∴所求離心率e的范圍為（

3

3

，1）．
故選：C

點評：本題給出“果圓”滿足的條件，求右橢圓離心率的取值范圍．著重考查了橢圓的標準方程與簡單幾何性質(zhì)、不等式的解法等知識，屬于中檔題．