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        1. 在三棱錐S-ABC中,△ABC是邊長為4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA=SC=2
          3
          ,M,N分別為AB,SB的中點.
          (1)證明:AC⊥SB;
          (2)求二面角N-CM-B的大。
          (3)求點B到平面CMN的距離.
          分析:(1)取AC中點O,并以O(shè)為原點,OA、OB、OS為x軸、y軸、z軸,建立如圖空間直角坐標(biāo)系.給出A、B、S、E、F各點的坐標(biāo),從而得到向量
          AC
          SB
          的坐標(biāo),計算出數(shù)量積
          AC
          SB
          =0,即可證出AC⊥SB;
          (2)根據(jù)題意,算出向量
          CE
          、
          EF
          的坐坐標(biāo),利用垂直向量數(shù)量積為零的方法建立方程組解出
          n
          =(
          2
          ,-
          6
          ,1)為平面CEF的一個法向量,而
          OS
          =(0,0,
          2
          )為平面ABC的一個法向量,利用空間向量的夾角公式算出 銳二面角F-CE-B的余弦值;
          (3)在平面CEF內(nèi)取點B,得到向量
          EB
          =(-
          1
          2
          ,
          3
          2
          ,0),根據(jù)空間坐標(biāo)系點到平面的距離公式,即可算出點B到平面CEF的距離
          解答:解:(1)取AC中點O,根據(jù)題意可得OA、OB、OS兩兩互相垂直,
          因此以O(shè)為原點,分別以O(shè)A、OB、OS為x軸、y軸、z軸,
          建立空間直角坐標(biāo)系,則A(1,0,0),
          B(0,
          3
          ,0),S(0,0,
          2
          ),E(
          1
          2
          ,
          3
          2
          ,0),F(xiàn)(0,
          3
          2
          ,
          2
          2
          ),C(-1,0,0)
          AC
          =(-2,0,0),
          SB
          =(0,
          3
          ,-
          2

          AC
          SB
          =-2×0+0×
          3
          +0×(-
          2
          )=0
          AC
          SB
          ,即得AC⊥SB.
          (2)由(1)得
          CE
          =(
          3
          2
          ,
          3
          2
          ,0),
          EF
          =(-
          1
          2
          ,0,
          2
          2
          ),
          設(shè)
          n
          =(x,y,z)為平面CEF的一個法向量,
          n
          CE
          =0
          n
          EF
          =0

          3
          2
          x+
          3
          2
          y=0
          -
          1
          2
          x+
          2
          2
          z=0
          ,
          取z=1,得x=
          2
          ,y=-
          6

          ∴平面CEF的一個法向量為
          n
          =(
          2
          ,-
          6
          ,1).
          又∵
          OS
          =(0,0,
          2
          )為平面ABC的一個法向量,
          ∴cos<
          n
          ,
          OS
          >=
          |
          n
          OS
          |
          |
          n
          |•|
          OS
          |
          =
          1
          3
          ,
          所以二面角F-CE-B的余弦值為
          1
          3

          (3)由(1)、(2),可得
          EB
          =(-
          1
          2
          3
          2
          ,0),
          n
          =(
          2
          ,-
          6
          ,1)為平面CEF的一個法向量
          ∴由點到平面的距離公式,可得
          點B到平面CEF的距離為 d=
          |
          n
          EB
          |
          |
          n
          |
          =
          2
          2
          3
          點評:本題給出底面為等邊三角形且一個側(cè)面與底面垂直的三棱錐,求證線線垂直并求二面角的大小和點到平面的距離.著重考查了利用空間向量研究平面與平面所成角、點到平面的距離公式和異面垂直的證法等知識,屬于中檔題.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          精英家教網(wǎng)如圖,在三棱錐S-ABC中,側(cè)面SAB與側(cè)面SAC均為邊長為1的等邊三角形,∠BAC=90°,O為BC中點.
          (Ⅰ)證明:SO⊥平面ABC;
          (Ⅱ)證明:SA⊥BC;
          (Ⅲ)求三棱錐S-ABC的體積.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          精英家教網(wǎng)如圖,在三棱錐S-ABC中,側(cè)面SAB與側(cè)面SAC均為等邊三角形,∠BAC=90°,O為BC中點.
          (Ⅰ)證明:SO⊥平面ABC;
          (Ⅱ)求二面角A-SC-B的余弦值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          精英家教網(wǎng)如圖,在三棱錐S-ABC中,側(cè)面SAB⊥底面ABC,且∠ASB=∠ABC=90°,AS=SB=2,AC=2
          3


          (Ⅰ)求證SA⊥SC;
          (Ⅱ)在平面幾何中,推導(dǎo)三角形內(nèi)切圓的半徑公式r=
          2S
          l
          (其中l(wèi)是三角形的周長,S是三角形的面積),常用如下方法(如右圖):
          ①以內(nèi)切圓的圓心O為頂點,將三角形ABC分割成三個小三角形:△OAB,△OAC,△OB精英家教網(wǎng)C.
          ②設(shè)△ABC三邊長分別為a,b,c.由S△ABC=S△OBC+S△OAC+S△OAB
          S=
          1
          2
          ar+
          1
          2
          br+
          1
          2
          cr
          =
          1
          2
          lr
          ,則r=
          2S
          l

          類比上述方法,請給出四面體內(nèi)切球半徑的計算公式(不要求說明類比過程),并利用該公式求出三棱錐S-ABC內(nèi)切球的半徑.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          如圖,在三棱錐S-ABC中,SA=AB=BC=AC=
          2
          SB=
          2
          SC
          ,O為BC中點.
          (1)求證:SO⊥平面ABC
          (2)在線段AB上是否存在一點E,使二面角B-SC-E的平面角的余弦值為
          15
          5
          ?若存在,確定E點位置;若不存在,說明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          在三棱錐S-ABC中,側(cè)棱SC⊥平面SAB,SA⊥BC,側(cè)面△SAB,△SBC,△SAC的面積分別為1,
          3
          2
          ,3,則此三棱錐的外接球的表面積為(  )

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          同步練習(xí)冊答案