Question

已知函數(shù)f（x）=|1-

1

x

|，（x＞0）
（1）當(dāng)0＜a＜b，且f（a）=f（b）時(shí)，求證：a+b=2ab
（2）是否存在實(shí)數(shù)a，b（a＜b），使得函數(shù)y=f（x）的定義域、值域都是[a，b]？若存在，則求出a，b的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）分x≥1時(shí)和x＜1時(shí)，根據(jù)絕對值的性質(zhì)，可根據(jù)絕對值的定義，可將函數(shù)的解析式化為分段函數(shù)的形式，進(jìn)而分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性證得結(jié)論
（2）根據(jù)（1）中結(jié)論，分①當(dāng)a、b∈（0，1）時(shí)，②當(dāng)a、b∈（1，+∞）時(shí)，③當(dāng)a∈（0，1），b∈（1，+∞）時(shí)，三種情況討論a，b的存在性，最后綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答：解：（1）∵x＞0，
當(dāng)x≥1時(shí)，1-

1

x

≥0，f（x）=|1-

1

x

|=1-

1

x

，
當(dāng)x＜1時(shí)，1-

1

x

＜0，f（x）=|1-

1

x

|=

1

x

-1，
∴f(x)=

1- 1 x (x≥1) 1 x -1(0＜x＜1)

，
所以f（x）在（0，1）內(nèi)遞減，在（1，+∞）內(nèi)遞增．
由0＜a＜b，且f（a）=f（b）?0＜a＜1＜b，
∴

1

a

-1=1-

1

b

即

1

a

+

1

b

=2．
∴2ab=a+b…（4分）
（2）不存在滿足條件的實(shí)數(shù)a，b．
∵f(x)=

1- 1 x (x≥1) 1 x -1(0＜x＜1)

①當(dāng)a、b∈（0，1）時(shí)，f(x)=

1

x

-1在（0，1）內(nèi)遞減，
∴

f(a)=b f(b)=a

?

1 a -1=b 1 b -1=a

?a=b，所以不存在．         …（7分）
②當(dāng)a、b∈（1，+∞）時(shí)，f(x)=1-

1

x

在（1，+∞）內(nèi)遞增，
∴

f(a)=a f(b)=b

?a，b是方程x²-x+1=0的根．
而方程x²-x+1=0無實(shí)根．所以不存在．               …（10分）
③當(dāng)a∈（0，1），b∈（1，+∞）時(shí)，f（x）在（a，1）內(nèi)遞減，在（1，b）內(nèi)遞增，
所以f（1）=a?a=0，
由題意知a≠0，所以不存在．                            …（12分）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是帶絕對值的函數(shù)，其中根據(jù)絕對值的定義去掉絕對值符號，將函數(shù)的解析式化為分段函數(shù)的形式是解答的關(guān)鍵．