Question

（本大題12分）定義在R上的單調函數(shù)滿足且對任意都有．

(1)求證為奇函數(shù)；

(2)若對任意恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

(1) f(x)是奇函數(shù)．證明略

(2) 當時f(k·3)+f(3-9-2)＜0對任意x∈R恒成立。

【解析】解：(1)證明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y∈R)，　　　　　　　　　　　　 ①

令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0．

令y=-x，代入①式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，則有

0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)對任意x∈R成立，所以f(x)是奇函數(shù)．

(2)解：f(3)=log3＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R上是單調函數(shù)，所以f(x)在R上是增函數(shù)，又由(1)f(x)是奇函數(shù)．

f(k·3)＜-f(3-9-2)=f(-3+9+2)，  k·3＜-3+9+2，

3-(1+k)·3+2＞0對任意x∈R成立．

令t=3＞0，問題等價于t-(1+k)t+2＞0對任意t＞0恒成立．

令，其對稱軸為，

當即時，，符合題意.

當即時，對任意恒成立

解得：

綜上，當時f(k·3)+f(3-9-2)＜0對任意x∈R恒成立