Question

設(shè)b0，橢圓方程為=1，拋物線方程為x­²=8（y-b）．如圖所示，過點(diǎn)F（0,b+2）作x軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為G．已知拋物線在點(diǎn)G的切線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)F_1．                                                                                     

（1）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；

（2）設(shè)A₁B分別是橢圓長軸的左、右端點(diǎn)，試探究在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得為直角三角形？若存在，請指出共有幾個這樣的點(diǎn)？并說明理由（不必具體求出這些點(diǎn)的坐標(biāo)）．

Answer 1

解：（1）由得 

       當(dāng)時，，G點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，b＋2）

        ， 

       過點(diǎn)G的切線方程為，即，

       令y＝0得  ，點(diǎn)的坐標(biāo)為 （2-b，0）；

       由橢圓方程得點(diǎn)的坐標(biāo)為（b，0），

         即 b＝1，

     因此所求的橢圓方程及拋物線方程分別為和。

 （2）過A作x軸的垂線與拋物線只有一個交點(diǎn)P,

      以為直角的只有一個;

      同理以為直角的只有一個;

     若以為直角, 設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為，則A、B坐標(biāo)分別

為、

      由得，

     關(guān)于的一元二次方程有一解，x有二解，即以為直角的有二個;

     因此拋物線上共存在4個點(diǎn)使為直角三角形。