Question

（14分）如圖，矩形的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)，邊所在直線的方程為，點(diǎn)在邊所在直線上。

⑴求邊所在直線的方程；
⑵求矩形外接圓的方程；
⑶若動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)，且與矩形的外接圓外切，求動(dòng)圓的圓心的軌跡方程。

Answer 1

⑴
⑵
⑶

本試題主要是考查了直線方程的求解，以及圓的方程的求解和動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的求解的綜合運(yùn)用。
（1）因?yàn)橐驗(yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823224022159396.png" style="vertical-align:middle;" />邊所在直線的方程為，且與垂直所以直線的斜率為。（1分）又因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以邊所在直線的方程可以得到
（2）由直線方程與直線方程聯(lián)立方程組得到交點(diǎn)的坐標(biāo)即為圓心的坐標(biāo)，然后得到圓的半徑，進(jìn)而得到結(jié)論。
（3）根據(jù)因?yàn)閯?dòng)圓過(guò)點(diǎn)，所以是該圓的半徑又因?yàn)閯?dòng)圓與圓外切所以,即結(jié)合定義法得到軌跡方程的求解。
解：⑴因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823224022159396.png" style="vertical-align:middle;" />邊所在直線的方程為，且與垂直所以直線的斜率為。（1分）又因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以邊所在直線的方程為，即。………（4分）
⑵由，解得點(diǎn)的坐標(biāo)為……（5分）
因?yàn)榫匦蝺蓷l對(duì)角線的交點(diǎn)為,所以為矩形外接圓的圓心又……………（7分）
從而矩形外接圓的方程為�！�（8分）
⑶因?yàn)閯?dòng)圓過(guò)點(diǎn)，所以是該圓的半徑又因?yàn)閯?dòng)圓與圓外切所以,即………………………（10分）
故點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為的雙曲線的左支……………（11分）
因?yàn)閷?shí)半軸長(zhǎng)，半焦距,所以虛半軸長(zhǎng)………………………（13分）
從而動(dòng)圓的圓心的軌跡方程為�！�……………………（14分）
注：沒(méi)注明條件扣1分。