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        1. 如圖,已知P、O分別是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1上、下底面的中心,E是AB的中點(diǎn),AB=kAA1,其中k為非零實(shí)數(shù),
          (1)求證:A1E∥平面PBC;
          (2)當(dāng)k=
          2
          時(shí),求直線PA與平面PBC所成角的正弦值;
          (3)當(dāng)k取何值時(shí),O在平面PBC內(nèi)的射影恰好為△PBC的重心?
          分析:依題意,設(shè)此棱柱的高AA1=2,則AB=2k,以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)和相關(guān)向量的坐標(biāo):(1)取BC中點(diǎn)F,得
          PF
          =
          A1E
          ,利用線面平行的判定定理證明即可;(2)求平面PBC的法向量,利用向量夾角公式計(jì)算
          PA
          與法向量夾角的余弦值,其絕對(duì)值即為線面角的正弦值;(3)利用重心坐標(biāo)公式計(jì)算三角形PBC重心的坐標(biāo),可知若O在平面PBC內(nèi)的射影恰好為△PBC的重心,當(dāng)且僅當(dāng)
          OM
          PB
          =0,列方程即可解得k值
          解答:解:設(shè)此棱柱的高AA1=2,則AB=2k,如圖建立空間直角坐標(biāo)系:
          則P(0,0,2),O(0,0,0),B(k,k,0),C(-k,k,0),A1(k,-k,2),A(k,-k,0),
          E(k,0,0)
          BC
          =(-2k,0,0),
          PB
          =(k,k,-2),
          A1E
          =(0,k,-2),
          PA
          =(k,-k,-2)
          (1)取BC中點(diǎn)F(0,k,0)
          PF
          =(0,k,-2)
          PF
          =
          A1E

          ∴A1E∥PF,PF?面PBC,A1E?面PBC
          ∴A1E∥平面PBC
          (2)當(dāng)k=
          2
          時(shí),∴
          BC
          =(-2
          2
          ,0,0),
          PB
          =(
          2
          ,
          2
          ,-2),
          PA
          =(
          2
          ,-
          2
          ,-2)
          設(shè)平面PBC的法向量為
          n
          =(x,y,z)
          n
          BC
          =-2
          2
          x=0
          n
          PB
          =
          2
          x+
          2
          y-2z=0

          ∴取
          n
          =(0,
          2
          ,1)
          ∴cos<
          PA
          ,
          n
          >=
          PA
          n
          |
          PA
          |×|
          n
          |
          =
          0-2-2
          2+2+4
          0+2+1
          =-
          2
          6
          =-
          6
          3

          設(shè)直線PA與平面PBC所成角為θ,則sinθ=
          6
          3

          ∴直線PA與平面PBC所成角的正弦值為
          6
          3

          (3)設(shè)△PBC的重心坐標(biāo)為M(x,y,z),則
          x=
          0+k-k
          3
          =0,y=
          0+k+k
          3
          =
          2k
          3
          ,z=
          2+0+0
          3
          =
          2
          3

          ∴M(0,
          2k
          3
          2
          3

          OM
          =(0,
          2k
          3
          ,
          2
          3

          OM
          BC
          =0,即OM⊥BC
          若OM⊥平面PBC,
          OM
          PB
          =
          2k
          3
          ×k+
          2
          3
          ×(-2)
          =0
          解得k=±
          2

          ∴k=±
          2
          時(shí),O在平面PBC內(nèi)的射影恰好為△PBC的重心
          點(diǎn)評(píng):本題綜合考查了線面平行的判定定理,線面垂直的判定定理,利用空間向量和空間直角坐標(biāo)系求空間直線與平面所成的角的方法
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          如圖,已知F1、F2分別為橢圓C1
          y2
          a2
          +
          x2
          b2
          =1(a>b>0)
          的上、下焦點(diǎn),其中F1也是拋物線C2x2=4y的焦點(diǎn),點(diǎn)M是C1與C2在第二象限的交點(diǎn),且|MF1|=
          5
          3

          (1)求橢圓C1的方程;
          (2)已知點(diǎn)P(1,3)和圓O:x2+y2=b2,過點(diǎn)P的動(dòng)直線l與圓O相交于不同的兩點(diǎn)A,B,在線段AB上取一點(diǎn)Q,滿足:
          AP
          =-λ
          PB
          ,
          AQ
          QB
          (λ≠0且λ≠±1),
          求證:點(diǎn)Q總在某條定直線上.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2010•上饒二模)如圖,已知P是焦距為上一點(diǎn),過P的直線與雙曲線C的兩條漸近線分別交于點(diǎn)P1,P2,且
          OP
          =
          1
          3
          OP1
          +
          2
          3
          OP2
          ,O
          為坐標(biāo)原點(diǎn).
          (1)試求當(dāng)S△OP1P2取得最大值時(shí),雙曲線C的方程;
          (2)設(shè)滿足條件(1)的雙曲線C的兩個(gè)頂點(diǎn)為A1,A2,直線l過定點(diǎn)D(3,0),且與雙曲線交于M,N兩點(diǎn)(M不為頂點(diǎn)),求證:直線A1M,A2N的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:廣東省執(zhí)信中學(xué)2012屆高三下學(xué)期第三次模擬數(shù)學(xué)理科試題 題型:047

          如圖,已知F1、F2分別為橢圓的上、下焦點(diǎn),其中F1也是拋物線C2∶x2=4y的焦點(diǎn),點(diǎn)M是C1與C2在第二象限的交點(diǎn),且

          (I)求橢圓C1的方程;

          (II)已知點(diǎn)P(1,3)和圓O∶x2+y2=b2,過點(diǎn)P的動(dòng)直線l與圓O相交于不同的兩點(diǎn)A,B,在線段AB上取一點(diǎn)Q,滿足∶,(λ≠0且λ≠±1),求證∶點(diǎn)Q總在某條定直線上.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2013年山東省高考數(shù)學(xué)預(yù)測(cè)試卷(12)(解析版) 題型:解答題

          如圖,已知F1、F2分別為橢圓的上、下焦點(diǎn),其中F1也是拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)M是C1與C2在第二象限的交點(diǎn),且
          (1)求橢圓C1的方程;
          (2)已知點(diǎn)P(1,3)和圓O:x2+y2=b2,過點(diǎn)P的動(dòng)直線l與圓O相交于不同的兩點(diǎn)A,B,在線段AB上取一點(diǎn)Q,滿足:,(λ≠0且λ≠±1),
          求證:點(diǎn)Q總在某條定直線上.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2013年山東省高考數(shù)學(xué)預(yù)測(cè)試卷(07)(解析版) 題型:解答題

          如圖,已知F1、F2分別為橢圓的上、下焦點(diǎn),其中F1也是拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)M是C1與C2在第二象限的交點(diǎn),且
          (1)求橢圓C1的方程;
          (2)已知點(diǎn)P(1,3)和圓O:x2+y2=b2,過點(diǎn)P的動(dòng)直線l與圓O相交于不同的兩點(diǎn)A,B,在線段AB上取一點(diǎn)Q,滿足:,(λ≠0且λ≠±1),
          求證:點(diǎn)Q總在某條定直線上.

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          同步練習(xí)冊(cè)答案