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        1. 如圖,已知P、O分別是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1上、下底面的中心,E是AB的中點,AB=kAA1,其中k為非零實數(shù),
          (1)求證:A1E∥平面PBC;
          (2)當k=
          2
          時,求直線PA與平面PBC所成角的正弦值;
          (3)當k取何值時,O在平面PBC內(nèi)的射影恰好為△PBC的重心?
          分析:依題意,設此棱柱的高AA1=2,則AB=2k,以O為原點建立空間直角坐標系,寫出相關點的坐標和相關向量的坐標:(1)取BC中點F,得
          PF
          =
          A1E
          ,利用線面平行的判定定理證明即可;(2)求平面PBC的法向量,利用向量夾角公式計算
          PA
          與法向量夾角的余弦值,其絕對值即為線面角的正弦值;(3)利用重心坐標公式計算三角形PBC重心的坐標,可知若O在平面PBC內(nèi)的射影恰好為△PBC的重心,當且僅當
          OM
          PB
          =0,列方程即可解得k值
          解答:解:設此棱柱的高AA1=2,則AB=2k,如圖建立空間直角坐標系:
          則P(0,0,2),O(0,0,0),B(k,k,0),C(-k,k,0),A1(k,-k,2),A(k,-k,0),
          E(k,0,0)
          BC
          =(-2k,0,0),
          PB
          =(k,k,-2),
          A1E
          =(0,k,-2),
          PA
          =(k,-k,-2)
          (1)取BC中點F(0,k,0)
          PF
          =(0,k,-2)
          PF
          =
          A1E

          ∴A1E∥PF,PF?面PBC,A1E?面PBC
          ∴A1E∥平面PBC
          (2)當k=
          2
          時,∴
          BC
          =(-2
          2
          ,0,0),
          PB
          =(
          2
          2
          ,-2),
          PA
          =(
          2
          ,-
          2
          ,-2)
          設平面PBC的法向量為
          n
          =(x,y,z)
          n
          BC
          =-2
          2
          x=0
          n
          PB
          =
          2
          x+
          2
          y-2z=0

          ∴取
          n
          =(0,
          2
          ,1)
          ∴cos<
          PA
          ,
          n
          >=
          PA
          n
          |
          PA
          |×|
          n
          |
          =
          0-2-2
          2+2+4
          0+2+1
          =-
          2
          6
          =-
          6
          3

          設直線PA與平面PBC所成角為θ,則sinθ=
          6
          3

          ∴直線PA與平面PBC所成角的正弦值為
          6
          3

          (3)設△PBC的重心坐標為M(x,y,z),則
          x=
          0+k-k
          3
          =0,y=
          0+k+k
          3
          =
          2k
          3
          ,z=
          2+0+0
          3
          =
          2
          3

          ∴M(0,
          2k
          3
          2
          3

          OM
          =(0,
          2k
          3
          2
          3

          OM
          BC
          =0,即OM⊥BC
          若OM⊥平面PBC,
          OM
          PB
          =
          2k
          3
          ×k+
          2
          3
          ×(-2)
          =0
          解得k=±
          2

          ∴k=±
          2
          時,O在平面PBC內(nèi)的射影恰好為△PBC的重心
          點評:本題綜合考查了線面平行的判定定理,線面垂直的判定定理,利用空間向量和空間直角坐標系求空間直線與平面所成的角的方法
          練習冊系列答案
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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          如圖,已知F1、F2分別為橢圓C1
          y2
          a2
          +
          x2
          b2
          =1(a>b>0)
          的上、下焦點,其中F1也是拋物線C2x2=4y的焦點,點M是C1與C2在第二象限的交點,且|MF1|=
          5
          3

          (1)求橢圓C1的方程;
          (2)已知點P(1,3)和圓O:x2+y2=b2,過點P的動直線l與圓O相交于不同的兩點A,B,在線段AB上取一點Q,滿足:
          AP
          =-λ
          PB
          ,
          AQ
          QB
          (λ≠0且λ≠±1),
          求證:點Q總在某條定直線上.

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          (2010•上饒二模)如圖,已知P是焦距為上一點,過P的直線與雙曲線C的兩條漸近線分別交于點P1,P2,且
          OP
          =
          1
          3
          OP1
          +
          2
          3
          OP2
          ,O
          為坐標原點.
          (1)試求當S△OP1P2取得最大值時,雙曲線C的方程;
          (2)設滿足條件(1)的雙曲線C的兩個頂點為A1,A2,直線l過定點D(3,0),且與雙曲線交于M,N兩點(M不為頂點),求證:直線A1M,A2N的交點的橫坐標為定值.

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          如圖,已知F1、F2分別為橢圓的上、下焦點,其中F1也是拋物線C2∶x2=4y的焦點,點M是C1與C2在第二象限的交點,且

          (I)求橢圓C1的方程;

          (II)已知點P(1,3)和圓O∶x2+y2=b2,過點P的動直線l與圓O相交于不同的兩點A,B,在線段AB上取一點Q,滿足∶,(λ≠0且λ≠±1),求證∶點Q總在某條定直線上.

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          (1)求橢圓C1的方程;
          (2)已知點P(1,3)和圓O:x2+y2=b2,過點P的動直線l與圓O相交于不同的兩點A,B,在線段AB上取一點Q,滿足:,(λ≠0且λ≠±1),
          求證:點Q總在某條定直線上.

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          (1)求橢圓C1的方程;
          (2)已知點P(1,3)和圓O:x2+y2=b2,過點P的動直線l與圓O相交于不同的兩點A,B,在線段AB上取一點Q,滿足:,(λ≠0且λ≠±1),
          求證:點Q總在某條定直線上.

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