Question

已知斜率為k（k≠0）的直線l過拋物線C：y²=4x的焦點(diǎn)F且交拋物線于A、B兩點(diǎn)．設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M．
（1）求點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）若﹣2＜k＜﹣1時(shí)，點(diǎn)M到直線l'：3x+4y﹣m=0（m為常數(shù)，）的距離總不小于，求m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）設(shè)AB的中點(diǎn)為O（x，y）；A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵直線過拋物線y²=4x得焦點(diǎn)F（1，0），
∴設(shè)直線的方程為：y=k（x﹣1），①
將①²代入拋物線方程中可得：k²（x﹣1）²=4x，
∴k²x²﹣（2k²+4）x+k²=0，②
∴x₁+x₂=（2k²+4）=2+，
∵y₁+y₂=k（x₁+x₂﹣2）=，
又∵x==1+，…③
y==，
∴，…④
∴將④代入③可得：x=1+，
∴y²=2x﹣2．
所以點(diǎn)M的軌跡方程為：y²=2x﹣2．
（2）由（1）知，點(diǎn)M（，），
∵M(jìn)（，）到直線l'：3x+4y﹣m=0的距離d=，
∴點(diǎn)M到直線l'：3x+4y﹣m=0（m為常數(shù)，）的距離總不小于，
∴，
∴，或，
即，或，
∴﹣2＜k＜﹣1，∴﹣＜＜4，
，
∴m，或m≥6，
∴m＜，
∴m≤﹣．
故m的取值范圍是{m|m≤﹣}．