Question

如圖1，在邊長為3的正三角形ABC中，E，F(xiàn)，P分別是AB，AC，BC邊上的點，滿足AE=CF=CP=1。今將△BEP，△CFP分別沿EP，F(xiàn)P向上折起，使邊BP與邊CP所在的直線重合（如圖2），B，C折后的對應點分別記為B₁，C₁，
（Ⅰ）求證：PF⊥平面B₁EF；
（Ⅱ）求AB₁與平面AEPF所成的角的正弦值。

Answer 1

（Ⅰ）證明：連接EF， 由已知得∠EPF=60°，且FP=1，EP=2， 故PF⊥EF， 又FC1=PB1， 故PF⊥B1F， 因EF∩B1F=F， 故PF⊥平面B1EF； （Ⅱ）解：連接AB1，作B1O⊥EF于O， 由（Ⅰ）知PF⊥平面B1EF，而PF平面AEPF， 故平面B1EF⊥平面AEPF， ∵平面B1EF∩平面AEPF=EF， ∴B1O⊥平面EPF， ∴∠B1AO就是AB1與平面EFP所成的角， ∵AE∥PF， ∴AE⊥EB1， ∵AE=1，EB1=2， ∴， 在△B1EF中，B1E=2，B1F=EF=， ∴， 則B1O=B1F·sin∠B1FE=， 故。