Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=xex﹣ax（a∈R，a為常數(shù)），e為自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）若函數(shù)f（x）的任意一條切線都不與y軸垂直，求a的取值范圍；
（2）當(dāng)a=2時，求使得f（x）+k＞0成立的最小正整數(shù)k．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知函數(shù)f（x）的任意一條切線都不與x軸平行等價于f'（x）=0在R上無解．…

f'（x）=（x+1）ex﹣a，…

記g（x）=（x+1）ex﹣a，則g'（x）=（x+2）ex

令g'（x）=0，則x=﹣2，所以 ，…

又當(dāng)x→+∞時，g（x）→+∞

所以須且只需gmin（x）＞0…

解得a＜﹣e﹣2…

（2）當(dāng)a=2時，要使f（x）+k＞0恒成立，即xex﹣2x＞﹣k恒成立，…6分

令f（x）=xex﹣2x，則f'（x）=h（x）=（x+1）ex﹣2，h'（x）=（x+2）ex，

當(dāng)x∈（﹣∞，﹣2）時，h'（x）＜0，函數(shù)h（x）在（﹣∞，﹣2）上單調(diào)遞減；

當(dāng)x∈（﹣2，+∞）時，h'（x）＞0，函數(shù)h（x）的（﹣2，+∞）上單調(diào)遞增．…

又因為x∈（﹣∞，﹣1）時，h（x）＜0，且h（0）=﹣1＜0，h（1）=2e2﹣2＞0，

所以，存在唯一的x0∈（0，1），使得 ，…

當(dāng)x∈（﹣∞，x0）時，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）在（﹣∞，x0）上單調(diào)遞減；

當(dāng)x∈（x0，+∞）時，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）在（x0，+∞）上單調(diào)遞增．

所以，當(dāng)x=x0時，f（x）取到最小值．…

，…

因為x0∈（0，1），所以f（x0）∈（﹣1，0），…

從而使得f（x）+k＞0恒成立的最小正整數(shù)k的值為1．…

【解析】（1）由已知函數(shù)f（x）的任意一條切線都不與x軸平行等價于f'（x）=0在R上無解，記g（x）=（x+1）ex﹣a，通過求導(dǎo)得到g（x）的最小值，且最小值要大于零，即可得到a的取值范圍，（2）當(dāng)a=2時，其恒成立可轉(zhuǎn)化為xex﹣2x＞﹣k恒成立，令f（x）=xex﹣2x，通過求導(dǎo)，使得f（x）+k＞0恒成立的最小正整數(shù)k的值為1.
【考點精析】關(guān)于本題考查的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減才能得出正確答案．