Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2，BC=2

2

，E，F(xiàn)分別是AD，PC的中點，
（1）證明：EF∥平面BAP；
（2）求平面BEF與平面BAP銳二面角的大小．

Answer 1

分析：（1）以AB為x軸，以AD為y軸，以AP為z軸，建立空間直角坐標系，得到

EF

=(1，0，1)，平面BAP的法向量

m

=（0，1，0），由此能夠證明EF∥平面BAP．
（2）求出平面BEF的法向量

n

=（

2

，2，-

2

），利用向量法能夠求出平面BEF與平面BAP銳二面角．

解答：解：（1）以AB為x軸，以AD為y軸，以AP為z軸，建立空間直角坐標系，
∵四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，
AP=AB=2，BC=2

2

，E，F(xiàn)分別是AD，PC的中點，
∴P（0，0，2），C（2，2

2

，0），E（0，

2

，0），
∴F（1，

2

，1），∴

EF

=(1，0，1)，
∵平面BAP的法向量

m

=（0，1，0），
∴

EF

•

m

=0，
∴

EF

∥平面BAP，
∵EF?平面BAP，∴EF∥平面BAP．
（2）∵B（2，0，0），E（0，

2

，0），F(xiàn)（1，

2

，1），
∴

BE

=(-2，

2

，0)，

BF

=(-1，

2

，1)，
設(shè)平面BEF的法向量

n

=（x，y，z），則

n

•

BE

=0，

n

•

BF

=0，
∴

-2x+ 2 y=0 -x+ 2 y+z=0

，
解得

n

=（

2

，2，-

2

），
設(shè)平面BEF與平面BAP銳二面角為α，
則cosα=|cos＜

m

，

n

＞|=|

0+2+0

8 • 1

|=

2

2

，
∴平面BEF與平面BAP銳二面角為

π

4

．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意向量法的合理運用．