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        1. 精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
          已知數列an中,a1=1,a2=a-1(a≠1,a為實常數),前n項和Sn恒為正值,且當n≥2時,
          1
          Sn
          =
          1
          an
          -
          1
          an+1

          (1)求證:數列Sn是等比數列;
          (2)設an與an+2的等差中項為A,比較A與an+1的大小;
          (3)設m是給定的正整數,a=2.現按如下方法構造項數為2m有窮數列bn:當k=m+1,m+2,…,2m時,bk=ak•ak+1;當k=1,2,…,m時,bk=b2m-k+1.求數列bn的前n項和為Tn(n≤2m,n∈N*).
          (1)當n≥3時,
          1
          Sn
          =
          1
          an
          -
          1
          an+1
          =
          1
          Sn-Sn-1
          -
          1
          Sn+1-SN
          ,
          化簡得Sn2=Sn-1Sn+1(n≥3),又由a1=1,a2=a-1得
          1
          a
          =
          1
          a-1
          -
          1
          a3

          解得a3=a(a-1),∴S1=1,S2=a,S3=a2,也滿足Sn2=Sn-1Sn+1,而Sn恒為正值,
          ∴數列{Sn}是等比數列.(4分)
          (2)Sn的首項為1,公比為a,Sn=an-1
          當n≥2時,an=Sn-Sn-1=(a-1)an-2,
          ∴an=
          1   n=1
          (a-1) an-2,n≥2

          當n=1時,A-an+1=
          a1+a3
          2
          -a2=
          a2-3a+3
          2
          =
          1
          2
          [(a-
          3
          2
          )2+
          3
          4
          ]≥
          3
          8
          ,此時A>an+1.(6分)
          當n≥2時,A-an+1=
          an+an+2
          2
          -an+1=
          (a-1)an-2+(a-1)an
          2
          -(a-1)an-1
          =
          (a-1)an-2(a2-2a+1)
          2
          =
          (a-1)3an-2
          2

          ∵Sn恒為正值∴a>0且a≠1,
          若0<a<1,則A-an+1<0,若a>1,則A-an+1>0.
          綜上可得,當n=1時,A>an+1;
          當n≥2時,若0<a<1,則A<an+1
          若a>1,則A>an+1.(10分)
          (3)∵a=2∴an=
          1   n=1
            2n-2,n≥2
          ,當m+1≤k≤2m時,bk=ak•ak+1=22k-3
          若n≤m,n∈N*,則由題設得b1=b2m,b2=b2m-1,bn=b2m-n+1
          Tn=b1+b2+…+bn=b2m+b2m-1+…+b2m-n+1
          =24m-3+24m-5++24m-2n-1=
          24m-3(1-4-n)
          1-4-1
          =
          24m-1(1-2-2n)
          3
          .(13分)
          若m+1≤n≤2m,n∈N*,則Tn=bm+bm+1+bm+2+…+bn=
          24m-1(1-2-2m)
          3
          +22m-1+22m+1++22n-3

          =
          24m-1(1-2-2m)
          3
          +
          22m-1(1-4n-m)
          1-4
          =
          22m-1(22m-1)
          3

          綜上得Tn=
          24m-1(1-2-2n)
          3
          ,1≤n≤m
          22m-1(22m-1)
          3
          ,m+1≤n≤2m
          .(16分)
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          1
          Sn
          =
          1
          an
          -
          1
          an+1

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          (Ⅱ)用“For”循環(huán)語句寫出對應的算法;
          (Ⅲ)若輸出S=16,則輸入的m的值是多少?

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