Question

（2012•香洲區(qū)模擬）有一個(gè)各棱長(zhǎng)均為1的正四棱錐，先用一張正方形包裝紙將其完全包住，不能剪裁，可以折疊，那么包裝紙的最小面積為

2+

3

．

Answer 1

分析：本題考查的是四棱錐的側(cè)面展開(kāi)問(wèn)題．在解答時(shí)，首先要將四棱錐的四個(gè)側(cè)面沿底面展開(kāi)，觀察展開(kāi)的圖形易知包裝紙的對(duì)角線處在什么位置時(shí)，包裝紙面積最小，進(jìn)而獲得問(wèn)題的解答．

解答：解：由題意可知：當(dāng)正四棱錐沿底面將側(cè)面都展開(kāi)時(shí)如圖所示：
當(dāng)以PP′為正方形的對(duì)角線時(shí)，
所需正方形的包裝紙的面積最小，此時(shí)邊長(zhǎng)最�。�
設(shè)此時(shí)的正方形邊長(zhǎng)為x則：（PP′）²=2x²，
又因?yàn)?PP′=1+2×

3

2

=1+

3

，
∴（1+

3

）2=2x2，
解得：x=

6 + 2

2

．
包裝紙的最小面積S=x²=（

6 + 2

2

）²=2+

3

．
故答案為：2+

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是棱錐的結(jié)構(gòu)特征、四棱錐的側(cè)面展開(kāi)問(wèn)題．在解答的過(guò)程當(dāng)中充分體現(xiàn)了側(cè)面展開(kāi)的處理問(wèn)題方法、圖形的觀察和分析能力以及問(wèn)題轉(zhuǎn)化的思想．值得同學(xué)們體會(huì)反思．