Question

【題目】

如圖，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱的長都是底面邊長的倍，P為側(cè)棱SD上的點(diǎn).

（Ⅰ）求證：AC⊥SD；

（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大��；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE：EC的值；若不存在，試說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）；（Ⅲ）2:1.

【解析】

（I）連BD，設(shè)AC交于BD于O，由題意知SO⊥平面ABCD．以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立坐標(biāo)系O-xyz，設(shè)底面邊長為a，求出高SO，從而得到點(diǎn)S與點(diǎn)C和D的坐標(biāo)，求出向量與，計(jì)算它們的數(shù)量積，從而證明出OC⊥SD，則AC⊥SD；（II）根據(jù)題意先求出平面PAC的一個(gè)法向量和平面DAC的一個(gè)法向量，設(shè)所求二面角為θ，則，從而求出二面角的大小；（III）在棱SC上存在一點(diǎn)E使BE∥平面PAC，根據(jù)（Ⅱ）知是平面PAC的一個(gè)法向量，設(shè)，求出，根據(jù)可求出t的值，從而即當(dāng)SE：EC=2：1時(shí)，，而BE不在平面PAC內(nèi)，故BE∥平面PAC

（I）證明：連BD，設(shè)AC交BD于O，由題意SO⊥AC．在正方形ABCD中，AC⊥BD，所以AC⊥平面SBD，得AC⊥SD

（II）設(shè)正方形邊長a，則．

又，所以∠SDO＝60°．

連OP，由（I）知AC⊥平面SBD，所以AC⊥OP，且AC⊥OD．所以∠POD是二面角P－AC－D的平面角．

由SD⊥平面PAC，知SD⊥OP，所以∠POD＝30°，

即二面角P－AC－D的大小為30°

（III）在棱SC上存在一點(diǎn)E，使BE∥平面PAC．

由（II）可得，故可在SP上取一點(diǎn)N，使PN＝PD．過N作PC的平行線與SC的交點(diǎn)即為E．連BN，在△BDN中知BN∥PO．

又由于NE∥PC，故平面BEN∥平面PAC，得BE∥平面PAC．

由于SN∶NP＝2∶1，故SE∶EC＝2∶1