Question

如圖，在y軸的正半軸上依次有點A₁、A₂、…A_n…，其中點A₁（0，1）、A₂（0，10），且|A_n-1A_n|=3|A_nA_n+1|（n=2，3，4…），在射線y=x（x≥0）上依次有點B₁、B₂…、B_n…，點B₁的坐標為（3，3），且|OB_n|=|OB_n-1|+2

2

（n=2，3，4…）．
（1）求|A_nA_n+1|（用含字母的式子表示）；
（2）求點A_n、B_n的坐標（用含n的式子表示）；
（3）設(shè)四邊形A_nB_nB_n+1A_n+1面積為S_n，問{S_n}中是否存在不同的三項S₁，Sn，S_k（1＜n＜k，n、k∈N）恰好成等差數(shù)列？若存在，求出所有這樣的三項，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用|A_n-1A_n|=3|A_nA_n+1|，及|A₁A₂|=9，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式即可求得|A_nA_n+1|；
（2）由（1）的結(jié)論結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，可得|A₁A₂|+|A₂A₃|+…+|A_n-1A_n|，從而得出A_n的坐標（0，

29

2

-

1

2

(

1

3

)n-1），再根據(jù)|OB_n|-|OB_n-1|=2

2

（n=2，3，…）且|OB₁|=3

2

，從而有{|OB_n|}是以3

2

為首項，2

2

為公差的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項公式即可得出B_n的坐標．
（3）對于存在性問題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)存在不同的三項S₁，Sn，S_k（1＜n＜k，n、k∈N）恰好成等差數(shù)列，再利用數(shù)列的函數(shù)特性，求出結(jié)果，若出現(xiàn)矛盾，則說明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：（1）|A_n-1A_n|=3|A_nA_n+1|，且|A₁A₂|=10-1=9，
∴|A_nA_n+1|=|A₁A₂|(

1

3

)n-1=9×(

1

3

)n-1=(

1

3

)n-3．
（2）由（1）的結(jié)論可得
|A₁A₂|+|A₂A₃|+…+|A_n-1A_n|=9+3+1+…+(

1

3

)n-1=

27

2

-

1

2

(

1

3

)n-1
∴A_n的坐標（0，

29

2

-

1

2

(

1

3

)n-1），
∵|OB_n|-|OB_n-1|=2

2

（n=2，3，…）且|OB₁|=3

2

∴{|OB_n|}是以3

2

為首項，2

2

為公差的等差數(shù)列
∴|OB_n|=3

2

+（n-1）×2

2

=（2n+1）

2

，
∴B_n的坐標為（2n+1，2n+1）．
（3）連接A_nB_n+1，設(shè)四邊形A_nB_nB_n+1A_n+1的面積為S_n，
則S_n=S △AnAn+1Bn+1+S △BnBn+1An=

1

2

(

1

3

)n-3×（2n+3）+

1

2

•2

2

•[

29

2

-

1

2

(

1

3

)n-4]

2

2

=

29

2

+

n

3n-3

由S₁，S_n，S_k（1＜n＜k，n，k∈N）成等差數(shù)列，
∴2（

29

2

+

n

3n-3

）=

29

2

+9+（

29

2

+

k

3k-3

）
即k=2•3^k（

n

3n

-

1

6

），①（4分）
∵

n+1

3n+1

-

n

3n

=

1-2n

3n+1

＜0，
∴{

n

3n

}是單調(diào)遞減數(shù)列．
當n≥3時，

n

3n

≤

1

9

，①式右邊小于0，矛盾，
當n=2時，得k=3^k-2，易知k=3是唯一解，
∴S₁，S₂，S₃成等差數(shù)列．
即當n≥3時，{S_n}中不存在S₁，S_n，S_k三項成等差數(shù)列．
綜上所述，在數(shù)列{S_n}中，有且僅有S₁，S₂，S₃成等差數(shù)列．

點評：本小題主要考查數(shù)列的函數(shù)特性、等比數(shù)列的通項公式、等差關(guān)系的確定等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于難題．