Question

（2013•紹興一模）如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AD=4，點P在平面ABCD上的射影中點O，且PA=PD=2

3

，二面角P-AD-B為45°．
（1）求直線OA與平面PAB所成角的大��；
（2）若AB+BP=8求三棱錐P-ABD的體積．

Answer 1

分析：（1）過O點作OH⊥AB，垂足為H，連接PH．過O點作OK⊥PH，連接AK，證明∠OAK就是OA與平面PAB所成的角，求出OK、OA的長，即可求直線OA與平面PAB所成角的大��；
（2）利用AB+BP=8，求出AB的長，利用三棱錐P-ABD的體積V=

1

3

S△ABD•OP，即可求三棱錐P-ABD的體積．

解答：解：（1）過O點作OH⊥AB，垂足為H，連接PH．過O點作OK⊥PH，連接AK．
∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥AB．
∵OH⊥AB，∴AB⊥平面POH．
∵OK?平面POH，∴AB⊥OK，
∵OK⊥PH，∴OK⊥平面PAB．
∴∠OAK就是OA與平面PAB所成角．
∵PA=PD，
∴P點在平面ABCD上的射影O在線段AD的中垂線上，
設(shè)AD的中點為E，連接EP，EO，
∴EO⊥AD，EP⊥AD，∴∠PEO為二面角P-AD-B的平面角，∴∠PEO=45°．
在等腰△PAD中，∵AD=4，∴EA=ED=2，
∵PA=PD=2

3

．∴PE=2

2

．
在Rt△PEO中，OP=OE=2，∴OA=2

2

，
又∵OH=AE=2，PO=2，在Rt△POH中，可得OK=

2

∴sin∠OAK=

OK

OA

=

1

2

，∴∠OAK=30°，∴直線OA與平面PAB所成的角為30°．
（2）設(shè)AB=x，則PB=8-x，連接OB．
在Et△POB中，PB²=PO²+OB²，∵OE⊥AE，OE=AE，∴∠OAE=45°，∴∠OAB=45°．
在△OAB中，OB²=AO²+AB²-2AO•AB•cos∠OAB=8+x²-4x
∴4+8+x²-4x=（8-x）²，
∴x=

13

3

，即AB=

13

3

∴三棱錐P-ABD的體積V=

1

3

S△ABD•OP=

1

3

×

1

2

×4×

13

3

×2=

52

9

點評：本題考查線面角，考查三棱錐體積的計算，考查學(xué)生的計算能力，正確作出線面角是關(guān)鍵．