Question

（2012•藍山縣模擬）設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域為（0，+∞），且在（0，+∞）上單調(diào)遞增，若對任意x，y∈（0，+∞）都有：f（xy）=f（x）+f（y）成立，數(shù)列{a_n}滿足：a₁=f（1）+1，f（

1

2an+1

-

1

2an

）+f（

1

2an+1

+

1

an

）=0．設(shè)S_n=a12a22+a22a32+a32a42+…+an-12an2+an2an+12．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式，并求S_n關(guān)于n的表達式；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）對任意x、y都有：g（x+y）=g（x）+g（y）+2xy，若g（1）=1，正項數(shù)列{b_n}滿足：bn2=g（

1

2n

），T_n為數(shù)列{b_n}的前n項和，試比較4S_n與T_n的大�。�

Answer 1

分析：（1）當(dāng)x，y∈（0，+∞）時，有f（xy）=f（x）+f（y），令x=y=1得f（1）=2f（1），得f（1）=0，所以a₁=f（1）+1=1．因為f（

1

2an+1

-

1

2an

）+f（

1

2an+1

+

1

an

）=0，所以f（

1

4an-12

-

1

4an2

）=0=f（1）．由此能夠求出數(shù)列{a_n}的通項公式，和S_n關(guān)于n的表達式．
（2）由于任意x，y∈R，都有g(shù)（x+y）=g（x）+g（y）+2xy，則g（2x）=2g（x）+2x²，故g（

1

2 n

）=

1

2 2n

，即bn2=

1

2 2n

．
由b_n＞0，知b_n=

1

2 n

，T_n=

1

2

+

1

2 2

+…+

1

2 n

=1-

1

2 n

，又4S_n=1-

1

4n+1

．由此能夠得到當(dāng)n=1，2，3，4時，4S_n＞T_n；當(dāng)n≥5時，4S_n＜T_n．

解答：解：（1）當(dāng)x，y∈（0，+∞）時，有f（xy）=f（x）+f（y），
令x=y=1得f（1）=2f（1），得f（1）=0，
所以a₁=f（1）+1=1（1分）
因為f（

1

2an+1

-

1

2an

）+f（

1

2an+1

+

1

an

）=0，
所以f（

1

4an-12

-

1

4an2

）=0=f（1）．
又因為y=f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，
所以

1

4an+12

-

1

4an2

=1，
即

1

an+12

-

1

an2

=4，（3分）
所以數(shù)列{

1

an2

}是以1為首項，4為公差的等差數(shù)列，
所以

1

an2

=4n-3，所以a_n=

1

4n-3

．
∵an2an+12=

1

(4n-3)(4n+1)

=

1

4

[

1

4n-3

-

1

4n+1

]，
∴S_n=

1

4

[

1

1

-

1

5

+

1

5

-

1

9

+…+

1

4n-3

-

1

4n+1

]=

1

4

[1-

1

4n+1

]．（5分）
（2）由于任意x，y∈R都有g(shù)（x+y）=g（x）+g（y）+2xy，
則g（2x）=2g（x）+2x²，
∴g（1）=2g（

1

2

）+2•（

1

2

）²
=2[2g（

1

4

）+2•（

1

4

）²]+

1

2

=2²g（

1

4

）+

1

22

+

1

2

=2²[2g（

1

2 3

）+2•（

1

2 3

）²]+

1

2 2

+

1

2

=2³g（

1

2 3

）+

1

2 3

+

1

2 2

+

1

2

=…=2ⁿg（

1

2 n

）+

1

2 n

+

1

2 n-1

+

1

2 n-2

+…+

1

2 2

+

1

2

=1，
∴g（

1

2 n

）=

1

2 2n

，即bn2=

1

2 2n

．
又b_n＞0，∴b_n=

1

2 n

，（9分）
∴T_n=

1

2

+

1

2 2

+…+

1

2 n

=

1 2 (1- 1 2 n )

1- 1 2

=1-

1

2 n

，又4S_n=1-

1

4n+1

．
當(dāng)n=1，2，3，4時，4n+1＞2ⁿ，
∴4S_n＞T_n；（10分）
當(dāng)n≥5時，2ⁿ=

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

+…+

C

n-1 n

+

C

n n

＞1+2n+2×

n(n-1)

2

=1+n²+n．
而n²+n+1-（4n+1）=n²-3n=n（n-3）＞0，故4S_n＜T_n．（13分）

點評：本題考查數(shù)列與不等式的綜合運用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認(rèn)真審題，仔細解答．