(本小題12分)若存在實(shí)常數(shù)
和
，使得函數(shù)
和
對其定義域上的任意實(shí)數(shù)
分別滿足
和
，則稱直線
為和的“隔離直線”．已知
，
（其中
為自然對數(shù)的底數(shù)）．
(1) 判斷函數(shù)
的零點(diǎn)個(gè)數(shù)并證明你的結(jié)論；
(2) 函數(shù)
和
是否存在隔離直線？若存在，求出此隔離直線方程；若不存在，請說明理由．
（12分）(1) 函數(shù)
只有一個(gè)零點(diǎn)。
證明
， 
．
當(dāng)
時(shí)，
．
當(dāng)
時(shí)，
，此時(shí)函數(shù)遞減；
當(dāng)
時(shí)，
，此時(shí)函數(shù)遞增；∴當(dāng)時(shí)，取極小值，其極小值為
．
所以函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)。
(2)解法一：由（1）可知函數(shù)
和
的圖象在
處有公共點(diǎn)，
因此若存在和的隔離直線，則該直線過這個(gè)公共點(diǎn)．
設(shè)隔離直線的斜率為
，則直線方程為
，即
．
由
，可得
當(dāng)
時(shí)恒成立
， 
由
，得
．
下面證明
當(dāng)
時(shí)恒成立．令
，
則
， 當(dāng)時(shí)，
．
當(dāng)時(shí)，
，此時(shí)函數(shù)
遞增；當(dāng)時(shí)，
，此時(shí)函數(shù)遞減；∴當(dāng)時(shí)，取極大值，其極大值為．
從而
，即
恒成立．
∴函數(shù)和存在唯一的隔離直線
．
解法二： 由(1)可知當(dāng)時(shí)，
(當(dāng)且當(dāng)時(shí)取等號) ．
若存在和的隔離直線，則存在實(shí)常數(shù)和
，
使得
和
恒成立，
令，則
且
，即
．后面解題步驟同解法一．
提分百分百檢測卷單元期末測試卷系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年河北省石家莊市高三下學(xué)期第二次質(zhì)量檢測理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題
(本小題滿分12分）
已知直線l1:4x:-3y+6=0和直線l2x=-p/2:.若拋物線C:y2=2px上的點(diǎn)到直線l1和直線l2的距離之和的最小值為2.
(I )求拋物線C的方程；
(II)若以拋物線上任意一點(diǎn)M為切點(diǎn)的直線l與直線l2交于點(diǎn)N，試問在x軸上是否存 在定點(diǎn)Q，使Q點(diǎn)在以MN為直徑的圓上，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年貴州省高三第一次月考理科數(shù)學(xué) 題型：解答題
（本小題滿分12分）
已知方向向量為v=(1,
)的直線l過點(diǎn)（0，－2）和橢圓C：
的焦點(diǎn)，且橢圓C的中心關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)在橢圓C的右準(zhǔn)線上.
（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）是否存在過點(diǎn)E（－2，0）的直線m交橢圓C于點(diǎn)M、N，滿足
cot∠MON
≠0（O為原點(diǎn)）.若存在，求直線m的方程；若不存
在，請說明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011年黑龍江省高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)文卷 題型：解答題
（本小題滿分12分）
已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在
軸上的橢圓C的離心率為
，且經(jīng)過點(diǎn)
，過點(diǎn)P（2，1）的直線
與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A、B.
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）是否存直線，滿足
？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011年遼寧省高二下學(xué)期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué) 題型：解答題
(本小題滿分12分)
已知函數(shù)
，
為實(shí)數(shù)）有極值，且在
處的切線與直線
平行.
（I）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（II）是否存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)
的極小值為1，若存在，求出實(shí)數(shù)a的值；若不存
在，請說明理由；
（Ⅲ）設(shè)
求證：
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
(本小題滿分12分) 如圖所示，已知圓
為圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)
在
上，點(diǎn)
在
上，且滿足
的軌跡為曲線
.
（1）求曲線的方程；
（2）過點(diǎn)
且斜率為k的動(dòng)直線
交曲線于A、B兩點(diǎn)，在y軸上是否存在定點(diǎn)G，滿足
使四邊
形
為矩形？若存在，求出G的坐標(biāo)和四邊形面積的最大值；若不存
在，說明理由。
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