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        1. 如果函數(shù)f(x)的定義域為{x|x>0},且f(x)為增函數(shù),f(x•y)=f(x)+f(y).
          (I)求f(1)的值;
          (II)求證:f(
          xy
          )=f(x)-f(y)
          ;
          (Ⅲ)已知f(3)=1,且f(a)>f(a-1)+2,求a的取值范圍.
          分析:(I)根據(jù)函數(shù)f(x)的定義域為{x|x>0},f(x•y)=f(x)+f(y),取x=y=1,可求出f(1)的值;
          (II)結(jié)合抽象表達式用
          x
          y
          代替x,y不變,即可化簡變形得到f(
          x
          y
          )=f(x)-f(y);
          (III)首先求得2=f(9),進而對不等式進行轉(zhuǎn)化,然后結(jié)合函數(shù)y=f(x)是定義在(0,+∞)上的單調(diào)性,結(jié)合變形后的抽象函數(shù)即可獲得變量a的滿足的條件,解之即可求出a的取值范圍.
          解答:解:(I)f(x•y)=f(x)+f(y)令x=y=1
          則f(1)=f(1)+f(1),解得f(1)=0
          (II)∵對一切x,y>0滿足f(x)+f(y)=f(x•y),
          ∴f(
          x
          y
          )+f(y)=f(
          x
          y
          ×y)=f(x)
          因此,滿足 f(
          x
          y
          )=f(x)-f(y),
          (III)∵f(3)=1,∴2=f(3)+f(3)=f(9);
          ∵f(x)是定義在(0,+∞)上的增函數(shù),
          ∴f(a)>f(a-1)+2,則f(a)>f(a-1)+f(9)=f[(a-1)•9]
          a-1>0
          a>0
          (a-1)•9<a
          解得:1<a<
          9
          8

          故a的取值范圍(1,
          9
          8
          點評:本題主要考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用的綜合類問題,同時考查了特值的思想、轉(zhuǎn)化的思想以及計算和解不等式組的能力,屬于中檔題.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          1
          3
          x3+
          a-3
          2
          x2+(a2-3a)x-2a

          (I)如果對任意x∈[1,2],f′(x)>a2恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;
          (II)設(shè)函數(shù)f(x)的兩個極值點分別為x1,x2判斷下列三個代數(shù)式:①x1+x2+a,②
          x
          2
          1
          +
          x
          2
          2
          +a2
          ,③
          x
          3
          1
          +
          x
          3
          2
          +a3

          中有幾個為定值?并且是定值請求出;若不是定值,請把不是定值的表示為函數(shù)g(a),并求出g(a)的最小值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          某廠生產(chǎn)某種零件,每個零件的成本為40元,出廠單價定為60元.該廠為鼓勵銷售商訂購,決定當(dāng)一次訂購量超過100個時,每多訂購一個,訂購的全部零件的出廠單價就降低0.02元,但實際出廠單價不能低于51元.
          (1)當(dāng)一次訂購量為多少個時,零件的實際出廠單價恰為51元?(3分)
          (2)設(shè)一次訂購量為x個,零件的實際出廠單價為P元,寫出函數(shù)P=f(x)的表達式;
          (3)如果訂購量為x個,該廠獲得的利潤為L,寫出函數(shù)L=g(x)的表達式;當(dāng)銷售商一次訂購零件量x∈[50,500]時,要使該廠獲得的利潤最大,只有銷售商一次訂購多少零件.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          1
          3
          x3+
          a-3
          2
          x2+(a2-3a)x-2a
          (1)如果對任意x∈(1,2],f'(x)>a2恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;
          (2)設(shè)實數(shù)f(x)的兩個極值點分別為x1x2判斷①x1+x2+a②x12+x22+a2③x13+x23+a3是否為定值?若是定值請求出;若不是定值,請把不是定值的表示為函數(shù)g(a)并求出g(a)的最小值;
          (3)對于(2)中的g(a),設(shè)H(x)=
          1
          9
          [g(x)-27],m,n∈(0,1)且m≠n,試比較|H(m)-H(n)|與|em-en|(e為自然對數(shù)的底)的大小,并證明.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

          已知函數(shù)f(x)=
          1
          3
          x3+
          a-3
          2
          x2+(a2-3a)x-2a

          (I)如果對任意x∈[1,2],f′(x)>a2恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;
          (II)設(shè)函數(shù)f(x)的兩個極值點分別為x1,x2判斷下列三個代數(shù)式:①x1+x2+a,②
          x21
          +
          x22
          +a2
          ,③
          x31
          +
          x32
          +a3

          中有幾個為定值?并且是定值請求出;若不是定值,請把不是定值的表示為函數(shù)g(a),并求出g(a)的最小值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年河北省衡水中學(xué)高三(上)第一次調(diào)研數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

          已知函數(shù)
          (I)如果對任意x∈[1,2],f′(x)>a2恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;
          (II)設(shè)函數(shù)f(x)的兩個極值點分別為x1,x2判斷下列三個代數(shù)式:①x1+x2+a,②,③
          中有幾個為定值?并且是定值請求出;若不是定值,請把不是定值的表示為函數(shù)g(a),并求出g(a)的最小值.

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          同步練習(xí)冊答案