Question

設(shè)函數(shù)f(x)＝x²－2－1(－3≤x≤3)．

（1）證明：f(x)是偶函數(shù)；

（2）指出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間，并說(shuō)明在各個(gè)單調(diào)區(qū)間上f(x)是增函數(shù)還是減函數(shù)；

（3）求函數(shù)的值域．

Answer 1

解析：（1）定義域?yàn)閧 x│－3≤x≤3}，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．(1分)

因?yàn)?I>f(－x)＝(－x)²－2－1＝x²－2－1＝f(x)，

即f(－x)＝f(x)，(2分)

所以f(x)是偶函數(shù)．(3分)

（2）當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝x²－2x－1＝(x－1)²－2，

當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＝x²＋2x－1＝(x＋1)²－2．(4分)

所以f(x)＝(5分)

函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間為[－3，－1]，[－1，0，[0，1]，[1，3]．(6分)

f(x)在區(qū)間[－3，－1]，[0，1]上為減函數(shù)，在[－1，0，[1，3]上為增函數(shù)．(7分)

（3）當(dāng)0≤x≤3時(shí)，函數(shù)f(x)＝(x－1)²－2的最小值為－2，最大值為f(3)＝2；(9分)

當(dāng)－3≤x＜0時(shí)，函數(shù)f(x)＝(x＋1)²－2的最小值為－2，最大值為f(－3)＝2．(11分)

故函數(shù)的值域?yàn)閇－2，2]．(12分)