Question

已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝2，對(duì)于任意的n∈N，都有an＞0，且(n＋1)a＋anan＋1－na＝0，又知數(shù)列{bn}:b1＝2n－1＋1

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an以及它的前n項(xiàng)和Sn；

(2)求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn；

(3)猜想Sn和Tn的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）見(jiàn)解析（2）（3）見(jiàn)解析

解析:

（Ⅰ）∵

∴。

∴

∴，∴。                                                           

即。

∴

。

∴，

∴又，∴。                                                                      

∴

        。                                                          

（Ⅱ）∵，

∴

。                                                                                  

（Ⅲ）

當(dāng)時(shí)，，∴；

當(dāng)時(shí)，，∴；

當(dāng)時(shí)，，∴；

當(dāng)時(shí)，，∴；

當(dāng)時(shí)，，∴；

當(dāng)時(shí)，，∴。                     

       

猜想：當(dāng)時(shí)，。                                                          

即。亦即。

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

當(dāng)時(shí)，前面已驗(yàn)證成立；                                             

假設(shè)時(shí)，成立，那么當(dāng)時(shí)，

。

∴當(dāng)時(shí)，也成立。               

由以上、可知，當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，。